ALGEBRA

Capítulo

1

Soluciones ejercicios

Nadie es perfecto, luego si encuentra errores, tenga la gentileza de informarnos
Ejercicio 1.1 Un cuerpo describe una órbita circular de radio R = 100 m
en torno a un punto fijo con rapidez constante dando una vuelta completa
por segundo. Determine la magnitud de la aceleración del cuerpo.
Solución. La aceleración en órbita circular es de magnitud( 2πR )2
v2
= T
R
R
4π 2 × 100
4π 2 R
= 3947. 8 m s−2
=
=
T2
1

a =

N
Ejercicio 1.2 Si el cuerpo del ejercicio anterior, repentinamente siguiera
en línea recta, determine la rapidez de crecimiento de la distancia al punto
fijo en m s−1 .
Solución. Este problema, es más apropiado hacerlo cuando se tenga claro
el concepto de derivada. De todos modos se soluciona por mediosgeométricos
a la manera de Newton. Si v es la rapidez en la órbita circular y sigue en
línea recta, el cuerpo recorre una distancia
d = vt.

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Soluciones ejercicios
α

vt
α

v

R

Figura 1.1:
Por el teorema de Pitágoras, la distancia D al centro de la circunferencia
original crece de la forma
√
D = R2 + v 2 t2
ver figura. La velocidad del cuerpo podemos imaginarnos se puededescomponer en una parte paralela a esa distancia, la que la hace crecer y otra parte
perpendicular que no la afecta. De modo que la rapidez de crecimiento de
esa distancia D será
v cos α
pero de la figura

vt
cos α = √
R2 + v 2 t2
obteniendo para la rapidez de crecimiento
v2 t
√
m s−1
2 + v 2 t2
R

con R = 100 m y v =
tiempo.

2πR
1

= 628. 319 m s−1 se tiene una función conocidadel
N

Ejercicio 1.3 Las masas de la Tierra y de la Luna son aproximadamente
MT = 5,98 × 1024 kg y ML = 7,36 × 1022 kg siendo la distancia promedio
entre ellos 3,84 × 108 m. Determine la fuerza ejercida por la Tierra sobre la
Luna y la ejercida por la Luna sobre la Tierra.

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Solución. Ambas son de igual magnitud dada por
F = G

MT ML
d2
−11 5,98

= 6,67259 × 10

= 1. 99 × 1020N

× 1024 × 7,36 × 1022
(3,84 × 108 )2

N

Ejercicio 1.4 De los datos del ejercicio anterior, determine el tiempo empleado por la Luna en dar una vuelta completa en torno a la Tierra, en días.
Solución. Considerando a la Tierra en reposo, la segunda ley de Newton
da
G
o sea
T =
=

s

s

4π 2 d
MT ML
= ML 2
d2
T

4π 2 d3
GMT
4π 2 (3,84 × 108 )3
6,67259 × 10−11 × 5,98 ×1024

= 2. 366 894 458 × 106 s
= 27. 39 días

Sin embargo ambos cuerpos describen órbitas casi circulares en torno al centro de masa de modo que si llamamos RL y RT a los radios de las órbitas,
con RL + RT = d se tiene que
4π 2 RL
MT ML
= ML
,
d2
T2
4π 2 RT
MT ML
= MT
G
d2
T2

G

o bien
4π2 RL
MT
=
,
d2
T2
4π2 RT
ML
G 2 =
d
T2

G

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Soluciones ejerciciosy si las sumamos
ML + MT
4π 2 d
=
,
d2
T2
expresión dada en clase en la forma
G

R3 =

G(M1 + M2 ) 2
T
4π 2

El efecto del movimiento de la Tierra da el valor

T =
=

s

s

4π 2 d3
G(MT + ML )
4π2 (3,84 × 108 )3
6,67259 × 10−11 × (5,98 × 1024 + 7,36 × 1022 )

= 2. 352 462 04 × 106 s
= 27. 23 días

Ni uno de los dos cálculos puede ser considerado exacto porque elmovimiento
de la Luna es mucho mas complejo que una órbita circular.
N
Ejercicio 1.5 Determine aproximadamente la fuerza que hace la Luna sobre una persona que está sobre la superficie terrestre y de masa 80 kg.
Solución. La distancia entre los centros es d = 3,84 × 108 m. el radio
terrestre es aproximadamente 6,38 × 106 m de manera que si la Luna esta
sobre la persona la distancia sera 3,84 ×108 − 6,38 × 106 = 3. 776 2 × 108 m
resultando para la fuerza
F = G

mML
d2

= 6,67259 × 10−11
= 2. 755 × 10−3 N
= 2. 8 × 10−4 kgf
bastante pequeña.

80 × 7,36 × 1022
(3. 776 2 × 108 )2

5
N
Ejercicio 1.6 Si el radio de la Luna es 1,74×106 m determine cuanto pesa
un kg de oro en la Luna.
Solución. El cálculo de la fuerza gravitacional da
F = G

mML
d2

= 6,67259 ×...