Algebra

18 POLINOMIOS. CONCEPTOS GENERALES Y OPERACIONES
18.1 POLINOMIOS Y SUS OPERACIONES
Definición. Un polinomio de grado n en la variable x es una expresión algebraica de la forma
n

p(x) = a x + ax
n

n―1

n-1

+ ... + a x + a donde n es un entero no negativo, a , a , a , ... , a son constantes
1

0

0

(números reales) y a ≠ 0. Los números a , a , a , ... , a

1

2

ncoeficiente principal y a es el término independiente. Si a es ≠0, a x es un término de grado j y el grado
n

0

1

2

n

son los coeficientes del polinomio, a es el
n

j

0

j

jdel polinomio, denotado gra p(x), es el grado del término de mayor grado.
5

4

3

2

Entonces el polinomio p(x) = 2x + 0x + 7x +0x – 2x +9 es un polinomio en x de grado 5, cuyocoeficiente principal es 2 y el término independiente es 9. Pero se conviene en omitir los términos de
5

3

coeficiente igual a 0 y por esta razón p(x) se escribirá como p(x) = 2x + 7x – 2x+9. Sustérminos son:
5

3

2x , de grado 5; 7x , de grado 3; –2x, de grado 1; y 9 de grado 0. Los términos constantes tienen grado
-2

cero. También de acuerdo con la definición, 5x + 3x – 9, no es unpolinomio, debido al exponente
1
-2

negativo en x . Tampoco lo es 5x 2 +

3
x + 2 ¿Por qué?
7

Definición. El polinomio cuyos coeficientes son todos 0 se escribe simplemente como p(x)=0, se llamapolinomio nulo y no tiene grado.
Los polinomios se suman y se multiplican como expresiones algebraicas corrientes, utilizando
propiedades algebraicas bien conocidas:
1. Suma de polinomios La sumade dos polinomios p(x) y q(x) es el polinomio p(x) + q(x) que se
obtiene sumándolos como expresiones algebraicas corrientes. Su grado es el mayor de los grados de los
polinomios que se suman.
42

3

2

Ejemplo 1. Si p(x)= –3x – 15x + 3x –1 y q(x)= 2x + x – 11x + 3 entonces
4

2

3

4

2

3

2

p(x)+q(x)= (–3x – 15x + 3x –1)+( 2x + x – 11x + 3) = (–3+0)x +(0+2)x...