Algebra

UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO FACULTAD DE NEGOCIOS Y MARKETING ESCUELA DE INGENIERÍA COMERCIAL CURSO: ÁLGEBRA PROFESOR: ANDRÉS CARRILLO LÓPEZ

200* SEGUNDO SEMESTRE

GUÍA DE EJERCICIOS N! 5 ( Funciones Exponencial y Logaritmo)
biyectiva, es decir admite función inversa. Dicha función inversa existe y se denomina Función Logarítmo de base +, que definiremos (también en términos conjuntista) ydenotaremos por: P91+ œ šÐBß CÑÎB œ +C ß con + ! y a Á "ß B ‘ ß C ‘ › Observación: Como estamos acostumbrados a trabajar con funciones escritas de la forma C œ 0 ÐBÑß entonces en vez de escribir: B œ +C , lo denotaremos como : C œ P91+ B œ 691+ BÞ La Función Exponencial de base +, definida (en términos conjuntista) y denotada como: IB:+ œ šÐBß CÑÎC œ +B ß con + ! y a Á "ß B ‘ß C ‘ ›, es una funciónEs posible verificar que la función logaritmica es la inversa de la exponencial determinando la composición entre ellas. En efecto, si 0 ÐBÑ œ + B C 1ÐBÑ œ 691 + B

Ð 1 ‰ 0 ÑÐBÑ œ 1 Ð0 ÐBÑÑ œ 1 Ð + B Ñ œ 691 + Ð + B Ñ œ B Ê + B œ + B Í B œ B

Su representación gráfica, dependiendo del valor de + será:
5 5 3 log ( x ) a x
x

¾ Ð 1 ‰ 0 ÑÐBÑ œ ˆ B

1 5 3 1 1 3 1 3 5

5 5

5 x 5

Engráfico se presentan las gráficas de las funciones exponencial y logarítmica, se observa que son simétricas respecto de la recta diagonal: C œ BÞ La función logarítmica de base +ß con +
1. Si B crece, 0 aBb crece. a B ! 2. Si B se aproxina a ! , 0 aBb decrece sin límite. 3. 0 aBb es inyectiva , es decir : B" Á B# Ê 0 aB" b Á 0 aB# b 4. H970 œ ‘ ß V/- 0 œ ‘ Þ 5. Si 0 À ‘ Ä ‘ ß 0 aBb es unabiyección. 6. 0 aBb no intersecta el eje ] , es decir 691+ aBb no tiene sentidoß para B œ ! Þ 7. 0 aBb intersecta el eje \ en el punto T a"ß !bß es decir 0 a"b œ 691+ a"b œ !Þ

"ß presenta las siguientes características:

PROPIEDADES: Si se tiene que: 0 aBb œ 691+ aBb Í B œ +0 aBb 1. 0 aB † Cb œ 0 aBb 0 aCb Í 691+ aB † Cb œ 691+ aBb 691+ aCb 2. 0 Š B ‹ œ 0 aBb ) 0 aCb C

3. 0 a"b œ ! Í 691+ a"b œ !4. 0 a+b œ " Í 691+ a+b œ " 5. 0 aBb œ 0 aBb Í 691+ aBb œ 691+ aBb Ê + œ +691+ aBb 6. 0 aB: b œ : † 0 aBb Í 691+ aB: b œ : † 691+ aBb TEOREMA DEL CAMBIO DE BASE: Si + !ß , !ß - ! Þ + Á "ß , Á "ß - Á " entonces 691 , + œ 691- + 691 ,

Í 691+ Š B ‹ œ 691+ aBb ) 691+ aCb C

Ejercicios Varios
1. Sabiendo que À B œ /68aBb a B demuestre que : a) /)68# œ d) /68# 2.Usando que :
68$ " # " #

-

!y usando propiedades de logarítmos c) /#
#& #( 68#

b) /$68# œ ) e) e#†685 )$† 68$ œ

œ #/#

œ'

1 68 # 1 " ß pruebe que: b)
" # & #

a) " 1 68 % 1 # d) ) " 1 68ˆ " ‰ 1 ) #

1 68 $ # 1 &

c)

e) ) 8 1 68 a#)8 b 1 )

8 #

1 68 a#8 b 1 8
8 #

3. Expresar en términos logarítmicos o exponenciales según correspondaÞ a) 691$ * œ # b) #% œ "' 4. Resuelve las ecuaciones:
" c)691 " Ð "' Ñ œ %
#

1. 691B a*b œ # 2. (B œ %* 3. #* œ &B 4. $ 691, % ) # 691, ) #691, # œ 691, B # $ 5. 691 Ð(B ) #Ñ# œ # 691 Ð$B ) %Ñ 6. 691 ) 691 B ) 691 # 691 B œ 691 % # 7. 691 $ ÐB# ) $B ) &Ñ œ 691 $ Ð( ) #BÑ 8. 691 % B)" œ 691 % Ð% ) BÑ # 9. 691 $ ÐB ) "ÑÐ#B ) "Ñ œ ! 10. 691 È# B )%B $ œ ) # % 11. 691a(B ) #b# œ #691a$B ) %b 12. "!
691ˆ B ‰ 691Š B+# ‹ 691aB# b +

"!691

ˆ B ‰ 691a+Bb+

œ #!

13. $B)"

14. 691 )691aBb ‘ ) 691 #691ÐBÑ ‘ œ 691aBB b

$B)#

$B)$

$B)%

$B)& œ )) 15. "!691a#Bb "!#691aBb œ $

5. Sea 0 aBb œ 691) a#B ) "b ß 1aBb œ 691* aBb resuelve la ecuación : a1‰0 baBb œ ) " # 6. Graficar : a) C œ &")#B b) C œ 691( a$B a) 0 aBb œ 68ˆ B)" ‰ B " #b

"6. 691aBb œ 691,# ) " 69,a,b $

691- ) #691+

7. Determinar dominio y recorrido de lasfunciones: b) 1aBb œ 691$ ˆ B#B" ‰ c) 2aBb œ l 68aB &b l

8. Determine la región encerrada por : aÑ B $C $ œ ! ß C œ /B ß l B l œ " b) C œ B# ) % ß C œ /)B ß C œ 68aB #b 9. Achurar la región encerrada por las curvas dadas, determinando analíticamente los puntos de intersección entre las curvas y los ejes coordenados. a. C œ #B ß C œ %B ß C œ ) ß B œ " Þ # b. C œ /B ß C œ /)B ß C œ /# c. B $C $ œ ! ß...