algebra

Concepto de algebra booleana
Álgebra de Boole (también llamada álgebra booleana) en informática y matemática, es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O , NO y SI (AND, OR, NOT, IF), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento. Se denomina así en honor a George Boole (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglésautodidacta, que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico, inicialmente en un pequeño folleto: The Mathematical Analysis of Logic,1 publicado en 1847, en respuesta a una controversia en curso entre Augustus De Morgan y Sir William HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/wiki/William_Rowan_Hamilton"RowanHYPERLINK "http://es.wikipedia.org/wiki/William_Rowan_Hamilton" Hamilton. El álgebrade Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. Más tarde fue extendido Como un libro más importante: An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities (también conocido como An Investigation of the Laws of Thought2 o simplemente The Laws of Thought3 ), publicado en 1854.En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948. Esta lógica se puede aplicar a dos campos:
Al análisis, porque es una forma concreta de describir cómo funcionan los circuitos.
Al diseño, ya que teniendo una funciónaplicamos dicha álgebra, para poder desarrollar una implementación de la función.
Función Booleana:
En matemáticas, una función booleana es una función cuyo dominio son las palabras conformadas por los valores binarios 0 ó 1 ("falso" o "verdadero", respectivamente), y cuyo condominio son ambos valores 0 y 1.
Formalmente, son las funciones de la forma ƒ : Bn → B, donde B = {0,1} y n un entero nonegativo correspondiente a la aridad de la función.
Modos de representación
Existen distintas formas de representar una función lógica, entre las que podemos destacar las siguientes:
Algebraica
Por tabla de verdad
Numérica
Gráfica
El uso de una u otra, como veremos, dependerá de las necesidades concretas en cada caso.
Algebraica
Se utiliza cuando se realizan operaciones algebraicas. Acontinuación se ofrece un ejemplo con distintas formas en las que se puede expresar algebraicamente una misma función de tres variables.
a) F = [(A + BC’)’ + ABC]’ + AB’C
b) F = A’BC’ + AB’C’ + AB’C + ABC’
c) F = (A + B + C)(A + B + C’)(A + B’ + C’)(A’ + B’ + C’)
d) F = BC’ + AB’
e) F = (A + B)(B’ + C’)
f) F = [(BC’)’(CB)´ (AB’)’]’
g) F = [(A + B)’ + (B’ + C’)’]’
La expresión a) puede proceder deun problema lógico planteado o del paso de unas especificaciones a lenguaje algebraico. Las formas b) y c) reciben el nombre expresiones canónicas: de suma de productos (sum-of-products, SOP, en inglés), la b), y de productos de sumas (product-of-sums, POS, en inglés), la c); su característica principal es la aparición de cada una de las variables (A, B y C) en cada uno de los sumandos o productosTabla de verdad de la función booleana

Una tabla de verdad contiene todos los valores posibles de una función lógica dependiendo del valor de sus variables. El número de combinaciones posibles para una función de n variables vendrá dado por 2n. Una función lógica puede representarse algebraicamente de distintas formas como acabamos de ver, pero sólo tiene una tabla de verdad. La siguientetabla corresponde a la función lógica del punto anterior.

La forma más cómoda para ver la equivalencia entre una tabla de verdad y una expresión algebraica es cuando esta última se da en su forma canónica. Así, la función canónica de suma de productos (o forma canónica disyuntiva)
F = A’BC’ + AB’C’ + AB’C + ABC’
Nos indica que será 1 cuando lo sea uno de sus sumandos, lo que significa que...