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Reducción de Matrices por Filas

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(c) 2012 Leandro Marin

1. Introducción
En este tema vamos a ver el algoritmo de reducción de matrices
por filas sobre los números racionales. Supondremos que se conoce
básicamente lo que es una matriz y las operaciones aritméticas básicas
sobre los números racionales.
De momento nos preocuparemos exclusivamente de laparte mecánica
del cálculo. En temas posteriores veremos qué es lo que hay detrás de
estas operaciones y de las múltiples utilidades que este algoritmo tiene
en todo tipo de cálculos sobre matrices.
2. Matrices, filas y columnas
Una matriz de tamaño m × n sobre
no es mas que una serie de
números racionales ordenados en una tabla rectangular que tiene m filas
y n columnas. Por ejemplo, unamatriz de tamaño 4 × 5 podría ser


−1

 −2

 1
0

−2
1
−1
0

0
1
− 12
−1

−1
2
2
2

0
− 12






2 
2

Esta matriz tiene 4 filas y 5 columnas. Cada una de ellas las numeraremos empezando por 1 y hasta llegar al máximo. Por ejemplo, la fila 3
de esta matriz sería
1

−1

− 21

2

2

y la columna 4 sería



−1
 2 


 2 
2Cuando nos refiramos a la posición (i, j) de una matriz, siempre el
primer número se referirá a la fila y el segundo a la columna. Así, la
posición (2, 5) de esta matriz es − f r ac12.
3. Operaciones Elementales por Filas

Una operación por filas es una operación que afecta a todos los
elementos de una fila, siendo exactamente la misma operación para cada
posición dentro de esa fila.
Existentres tipos de operaciones elementales por filas:
(1) Multiplicación de una fila por una constante distinta de 0
Dada una constante (que siempre deberá ser distinta de 0), esta
operación consiste en multiplicar todos los elementos de una fila por
dicha constante. Si la constante es α y la fila es i, denotaremos esta
operación como Fi = αFi . Por ejemplo, en la siguiente matriz


−1

 −2
 1
0

−2
1
−1
0

0
1
− 12
−1

−1
2
2
2

0
− 12






2 
2

Si hacemos la operación F1 = 5F1 obtendríamos la matriz


−5

 −2

 1
0

−10
1
−1
0

0
1
− 12
−1

−5
2
2
2

0
− 21






2 
2

Fijémonos que en cada posición hemos multiplicado
por 5, así la primera fila de la matriz se ha transformado
5 −1 −2 0 −1 0 =−5 −10 0 −5 0 .
Para denotar la operación escribiremos entre las dos matrices
F1 =5F1

una flecha junto con la operación que hemos realizado → .
(2) Sumar a una fila otra multiplicada por una constante
Consiste en sumar a los elementos de una fila, los elementos
de otra multiplicados por una constante. La constante puede ser
positiva o negativa, por lo tanto, si tenemos que sumar un númeronegativo, lo que haremos es restarlo. Si a la fila i le sumamos la
fila k multiplicada por α lo escribiremos Fi = αFk + Fi . Veamos un
ejemplo, si tenemos la matriz



1

 −2

 1
0

2
1
−1
0

0
1

1
2
2
2

− 12
−1



0


− 12 

2 
2

y hacemos la operación que a la fila 2 le sumamos 2 veces la fila
1, es decir

F2 =2·F1 +F2

→

la matriz queobtenemos es



1

 0

 1
0

2
5
−1
0

0
1

1
4
2
2

− 21
−1



0
− 12




2 
2

La operación que hemos realizado es la siguiente:
2

1

2

2·1−2

0

1

0

2·2+1
0

+

2·0+1
5

1

−2

1

1

2·1+2

2

− 12

2·0−

1
2

=
=

− 12

4

Colocándose el resultado en la fila 2.
(3) Intercambiar dos filasEsta probablemente es la operación más sencilla, consiste en
dada la fila i y la fila j, intercambiar ambas filas, lo que está en la
fila i pasa a la fila j y viceversa. Si intercambiamos la fila 1 con la
fila 2 en la siguiente matriz


−1

 −2

 1
0

−2
1
−1
0

0
1
− 12
−1

−1
2
2
2

obtenemos el sigueinte resultado.

0




− 12 

2 
2



−2...