Algebra

III. DESARROLLO
1. Método de Gauss
El método de eliminación de Gauss Jordan(Llamado así en honor a Carl Friadrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del Algebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas.El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss Jordancontinua el proceso de transformación hasta obtener una matriz Diagonal unitaria.
1.1. Ejercicio 1.
Una empresa tiene tres minas con menas de composiciones:
  | Níquel (%) | Cobre (%) | Hierro (%) |
Mina A | 1 | 2 | 3 |
Mina B | 2 | 5 | 7 |
Mina C | 1 | 3 | 1 |
¿Cuántas toneladas de cada mina deben utilizarse para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de cobre y 16 de hierro?
x = nº de toneladasde la mina A.              x=200 t
y = nº de toneladas de la mina B.              y=100 t
z = nº de toneladas de la mina C.              z=300 t

1.2. Ejercicio 2

Tres compuestos se combinan para formar tres tipos de fertilizantes. Una unidad del fertilizante del tipo I requiere 10 kg del compuesto A, 30 kg del compuesto B y 60 kg del compuesto C. Una unidad del tipo II requiere 20 kg delA, 30 kg del B, y 50 kg del C. Una unidad del tipo III requiere 50 kg del A y 50 kg del C. Si hay disponibles 1600 kg del A, 1200 kg del B y 3200 del C.¿Cuántas unidades de los tres tipos de fertilizantes se pueden producir si se usa todo el material químico disponible?
Solución.
Queremos saber cuántas unidades de cada tipo de fertilizante se pueden producir, asignemos literales.
Sea x elnúmero de unidades del fertilizante del tipo I.
Sea y el número de unidades del fertilizante del tipo II.
Sea z el número de unidades del fertilizante del tipo III.
Establezcamos relaciones algebraicas entre las variables.
La cantidad de kilogramos del compuesto A que contiene el fertilizante del tipo I es 10x, del tipo II es 20y, y del tipo III es 50z.
El número total de kilogramos delcompuesto A es:
Y tiene que ser igual a 1600 kg que son los kilogramos disponibles del compuesto A. 10x + 20y + 50z=1600
Análogamente para el compuesto B se tiene : 30X + 30 Y=1200
Para el compuesto C se tiene 60X + 50Y +50 Z=3200
1 2 5= 160
30 30 0 =1200
60 50 50=3200

1 2 5= 160
30 30 0 =1200
60 50 50=3200

Así, para saber cuántas unidades de cada tipo de fertilizantese pueden producir , hay que resolver el sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.
10 20 50 =1600 Multiplicar F1 por 1/10
30 30 0=1200
60 50 50=3200
Multiplicar F2 por -1/30

1 2 5 = 160
0 1 5 = 120
0 -70 -250= -6400
Multiplicar F2 por -1/30

1 2 5 = 160
0 1 5 = 120
0 -70 -250= -6400
Volvemos a12 u a31 a 0

1 2 5 = 160
0-30 -150= -3600
0 - 70 -250= -6400
Volvemos a12 u a31 a 0

1 2 5 = 160
0 -30 -150= -3600
0 - 70 -250= -6400

Convertir a13 y a23 a 0
1 0 0 = 20
0 1 0 = 20
0 0 1 = 20
Convertir a13 y a23 a 0
1 0 0 = 20
0 1 0 = 20
0 0 1 = 20
Multiplicar F3 por 1/100
1 0 -5 = -80
0 1 5 = 120
0 0 1= 20
Multiplicar F3 por 1/100
1 0-5 = -80
0 1 5 = 120
0 0 1= 20
Convertir a12 y a32 a o
1 0 -5 = -80
0 1 5 = 120
0 0 100= 2000

Convertir a12 y a32 a o
1 0 -5 = -80
0 1 5 = 120
0 0 100= 2000

2. Programación lineal

La programación lineal da respuesta a situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas adeterminadas limitaciones, que llamaremos restricciones.
Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc.
Función objetivo
En esencia la programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) unafunción objetivo, que es una función lineal de varias variables:
f(x,y) = ax + by.
Restricciones
La función objetivo está sujeta a una serie...