algebra

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales. Generalidades
Definici´
on [Sistema de ecuaciones lineales]
Un sistema de m ecuaciones lineales con n inc´ognitas, es un conjunto de m igualdades que se
pueden escribir en la forma:

a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1



 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
(1)
..
..
..
..

.
.
.
.



am1 x1+ am2 x2 + · · · + amn xn = bm
• Coeficientes:

aij para i = 1, 2, · · · , m;

j = 1, 2, · · · , n

• T´erminos independientes: bi para i = 1, 2, · · · , m,
• Inc´ognitas del sistema: x1 , x2 , · · · , xn
En el caso particular de que b1 = b2 = · · · = bm = 0 el sistema se denomina homog´
eneo.

Matriz del sistema






a11
a21
..
.

a12
a22
..
.

· · · a1n
· · ·a2n
..
.

b1
b2
..
.

Matriz de coeficientes














am1 am2 · · · amn bm

a11
a21
..
.

a12
a22
..
.

· · · a1n
· · · a2n
..
.

am1 am2 · · · amn

1







Soluci´
on de un sistema de ecuaciones.
Definici´
on
Diremos que un conjunto de n n´
umeros ordenados (α1 , α2 , , · · · , αn ) es una soluci´on del sistema
( 1) sisatisfacen todas las ecuaciones del sistema.

Sistemas equivalentes.
Definici´
on
Diremos que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
(Obs´ervese que no necesariamente han de tener el mismo n´
umero de ecuaciones.)

Clasificaci´
on de un sistema de ecuaciones lineales.
Atendiendo a la existencia o no de soluciones, los sistemas lineales seclasifican en:
• Incompatibles: si no tienen soluci´on.
• Compatibles: si tienen al menos una soluci´on.
A su vez los sistemas de ecuaciones lineales compatibles se clasifican, en funci´on del n´
umero
de soluciones, en:
Determinados: si tienen una u
´nica soluci´on.
Indeterminados: si tienen m´as de una, en cuyo caso tendr´an infinitas soluciones.
Notemos que los sistemas homog´eneos tienensiempre, al menos, la soluci´on (0, 0, · · · , 0) que
recibe el nombre de soluci´on trivial, por ello siempre son compatibles.

2

Discusi´
on y resoluci´
on de sistemas por el m´
etodo de Gauss

Sistema escalonado
Definici´
on
Un sistema de ecuaciones lineales se denomina escalonado (o reducido) si la matriz del
sistema verifica que:
(a) Todos los elementos por debajo de los aii para i= 1, 2, · · · , n son nulos.
(b) El primer elemento no nulo de cada fila, llamado pivote, est´a a la derecha del primer
elemento diferente de cero (pivote) de la fila anterior.
(c) Cualquier fila formada u
´nicamente por ceros est´a bajo todas las filas con elementos
diferentes de cero.

M´
etodo de eliminaci´
on de Gauss
1. Localizamos en la primera columna no nula, de la matriz delsistema, el primer elemento
no nulo a.
2. Intercambiamos la primera fila con la fila en la que se encuentra a.
3. Multiplicamos la primera fila por a−1 .
ultiplos adecuados de la primera fila a las dem´as, anulamos todos los elementos
4. Sumando m´
de la primera columna no nula menos el primero.
5. Repetimos el proceso, con la matriz que resulta de eliminar la primera fila y la primeracolumna, hasta conseguir un sistema escalonado.

Una vez obtenido el sistema escalonado, se resuelve por sustituci´
on regresiva.

3

Aplicaci´
on del m´
etodo de Gauss a la resoluci´
on
de un sistema de ecuaciones lineales con o sin par´
ametros


asicas : Corresponden a pivotes
 B´
Inc´
ognitas



Libres : No corresponden a pivotes

Al n´
umero de inc´ognitas libres se ledenomina n´
umero de grados de libertad del sistema.

Sistema escalonado:
1. Aparece una fila al menos, en la matriz del sistema, que tiene todos los elementos nulos
salvo el u
´ltimo (es decir hay alguna ecuaci´on de la forma 0 = b con b = 0 ). En dicho caso
el sistema escalonado y, por tanto, el inicial son incompatibles.
2. En caso contrario el sistema es compatible.
(a) Si el n´...