Algebra

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Boletín nº 5 : Espacios Vectoriales

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1. ESPACIOS VECTORIALES : 1.1. Comprobar que R2 con las operaciones : (a,b)+(c,d)= (a+b,c+d)  (a,b) = (a, b) es un espacio vectorial sobre el cuerpo R. 1.2. Comprobar si Rn con las operaciones (x1,x2,..xn)+(y1,y2,…yn)=(x1+y1,x2+y2,…,xn+yn) α(x1,x2,..xn)= (α x1, α x2,.. α xn) es un espacio vectorial sobre R 1.3. Definimos enR3 las operaciones : (a,b,c)+(d,e,f)= (a+b+c,d+e+f) y  (a,b,c) = (a,b,c) 1.3.1. Calcula (2,3,5)+(3,5,8), 2(3,8,1), -4(5,2,1), 3(6,4,1), -2(-3,1,7)+5(-6,3,2) 1.4. Comprueba si el conjunto de los polinomios de grado  2 que representamos por P2(x) = {a+bx+cx2/ a,b,cR} es un espacio vectorial con las operaciones a+bx+cx2+ a’+b’x+c’x2= (a+a’)+(b+b’)x+(c+c’)x2  (a+bx+cx2)=  a+  bx+  cx2 1.5.Sea F(I,R) = {f: [a,b]R}. Probar que F(I,R) tiene estructura de espacio vectorial con las operaciones : (f+g)(x)= f(x)+g(x) , (αf)(x)= α f(x) 1.6. Comprueba si el conjunto de las matrices Mnxm con las operaciones (aij)+(bij)=( aij+ bij) α(aij)= (αaij) es un espacio vectorial sobre R 2. SUBESPACIOS: Justifica cuales de los siguientes conjuntos son espacios vectoriales : 2.1. H = {(x,y) R2/ y=2x}2.2. H = {(x,y) R2/ 2x+y=1} 2.3. H = {(x,y) R2/ 3x-2y=0, xZ} 2.4. H = {(x,y,z)R3/ y=z+x} 2.5. H = {(x,y,z) R3/2x+y-3z=1} 2.6. H = {(x,y,z) R3/ xZ} 2.7. H= {(x,y) R2/ x>0,y>0} 2.8. H = {(x,y,z) R3/ y = ax+b, b0} 2.9. H = {(x,y)R2/ 2x-y =0} 2.10. H = {(x,y,z)R2/ 5x+y =3} 2.11. H = {(x,x+3)R2/ xR} 2.12. H= {a0+a1x+a2x2 / a0 = 0} 2.13. H= {a0+a1x+a2x2 / a0 = 5} 2.14. H= {AM2x2 /A=AT} 2.15. H= {AM2x2 / Det(A)=0} 2.16. H= {AMnxn / A T = T A} 2.17. Ecuaciones paramétricas del subespacio:
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2.17.1. Si H = {(x,y) R2/ 2x-y=0} 2.17.1.1. Prueba que es subespacio vectorial 2.17.1.2. Calcula las ecuaciones paramétricas 2.17.1.3.Cuál es la interpretación geométrica de H ? 2.17.2. Si H = {(x,y,z) R3/x+y+z=0} 2.17.2.1. Prueba que es subespacio vectorial. 2.17.2.2. Calcula las ecuaciones paramétricas. 2.17.2.3. Cuál es la interpretación geométrica de H ? 3. COMBINACIONES LINEALES (C.L.) 3.1. Comprobar si 3.1.1. Es (5,5,1) es c.l. de (1,3,-1) , (2,1,1) ? 3.1.2. Es (4,5,1) CL de (1,3,1) , (2,-1,1) ? 3.1.3. Es (-1,21,34) C.L. de(1,3,5) y (-1,5,8) ? 3.2. Escribe el polinomio t2+4t-3 como C.L. de los polinomios t2-2t+5, 2t2-3t,t+3. 3.3. Escribe la matriz como C. L. de las matrices

3.4. Dados los vectores u=(1,1,2),v= (-1,1,0), w=(-5,-1,m). Calcula m para que w sea c.l. de u y v. 4. SUBESPACIO ENGENDRADO 4.1. Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del subespacio vectorial engendrado por 4.1.1. 4.1.2. H = 4.2.Cuales son los vectores que engendran el subespacio H = {(x,y,z)R3/ y=z+x} 4.3. Dado H = {(a-3b,b-a,a,b)/ a,b R} 4.3.1. Es H un subespacio vectorial ? 4.3.2. Si H es subespacio calcula un sistema de generadores de H 4.4. Calcula m,n y p para que el vector (m,n,p) pertenezca al subespacio engendrado por (1,3,-2) y (2,-1,1). 4.5. Si P2(x) es el conjunto de todos los polinomios de grado  2 .Calcula el subespacio generado por H ={p(x) P2(x) / p(1)=0 } 4.6. Comprobar si son iguales los siguientes subespacios 4.6.1. H= y F = 4.6.2. H= y F =< (1,2,-4,11),(2,4,-5,14)> 5. DEPENDENCIA e INDEPENDENCIA LINEAL : 5.1. Comprueba si los siguientes sistemas de vectores son libres o ligados 5.2. (1,1,3), (2,1,1) 5.3. (-1,2,5), (-2,4,10) 5.4. (1,1,2),(2,1,2),(4,3,7) 5.5.(1,1,4),(2,1,1),(3,2,5),(3,1,5) 5.6. (2,1,3,1), (-2,3,5.2),(1,1,-4,3) 5.7. x2+x+1, 2x2+x, 3x2+2x+2.
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5.8. Sea el espacio vectorial M2x2 . determina si las matrices son L.D. 5.9. Estudiar si S = {v1, v2, v3, v4} es una familia libre si v1 = (1,0,0,0), v2=(0,2,0,6), v3=...