Algebra

PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD - COMUNIDAD DE MADRID SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES.
1998 JUNIO (opción A)

Se da el sistema

x  my  z  2   mx  2 z  4 x  y  z  2 
a) Hállense los valore de m para los que sea compatible. b) Resuélvase, si es posible, para m=2.

Solución:
a) Para m=2 y m=1 es Compatible Indeterminado. Para el resto de valores es Compatible Determinado. y  0 z    b) x  2  
1998 JUNIO (opción B)

Los estudiantes de cierto curso venden camisetas, gorras y banderines para ayudarse a pagar un viaje. Cada camiseta se vende a 800 pesetas, cada gorra a 120 pesetas y cada banderín a 200 pesetas. Los costes de cada prenda son de 300 pesetas por camiseta, 20 pesetas por gorra y 80 pesetas por banderín. El beneficio neto obtenido es de 67.400 pesetas yel gasto total es de 34.600 pesetas. Sabiendo que se han vendido un total de 270 unidades en conjunto, calcúlese cuántas se han vendido de cada clase.

Solución:
100 camisetas, 150 gorras y 20 banderines
1998 JUNIO (opción B)

En un colegio se imparten los cursos 1º, 2º y 3º de ciertas enseñanzas. Los profesores tienen asignado un número de horas de clase, tutorías y guardias a cubrir deacuerdo con la siguiente matriz:
clase guardias tutorías

1º  20  M  2º  18  3º  22

5 6 1

3  5 2 

El colegio paga cada hora de clase a 2.000 pesetas, cada hora de guardia a 500 pesetas y cada hora de tutoría a 1.000 pesetas, según el vector:

 2.000    C   500   1.000   
El colegio dispone de 5 profesores para primer curso, 4 para segundo y 6 para tercero,reprensados por el vector:

P  5 4 6
Calcúlense cada uno de los siguientes productos de matrices e interprétense los resultados.

a) P·M

b) M·C

c) P·M·C

Solución:
a) P  M   304 55

47 

 45.500    b) M  C   44.000  c) P  M  C  682.500  46.500   

P  M Indica el nº de horas de clase, de guardias y de tutorías en el colegio. M  C Indica lo que el colegio abonaa un profesor según imparta en 1º, 2º o 3º. P  M  C Indica el gasto total del colegio en los profesores.
1998 SEPTIEMBRE (Opción A)

Sea la matriz

 2 1   A     1  1

1 a) Halla una matriz B tal que A B  A

b) Discute según los valores de m, el sistema

 x   my  1  A   y   2z    2          

c) Resuelve el sistema anterior en aquellos casos enlos que sea compatible.

 3 3  Solución: a) B=   3 0 
b) El sistema es compatible indeterminado para todo valor de m. c) x 

1  (m  1)t 3  (m  3)t ; y t; z  2 4

t real

1998 SEPTIEMBRE (Opción B)

Tres recipientes A, B y C, almacenan un total de 72 litros de disolvente. El recipiente A contiene la tercera parte de la cantidad que hay en B y C juntos. Si de B se pasan 4litros a C y 6 litros a A, se igualan las cantidades que hay en cada recipiente. a) Plantea el sistema de ecuaciones lineales que proporcionan las cantidades de disolvente que había inicialmente en cada recipiente. b) Resuelve el sistema anterior

Solución:
b) Recipiente A: 18 litros ; B: 34 litros ; C: 20 litros
1999 JUNIO (opción B)
x y  z  Se considera el sistema  x  y  (a  4)z  xy  2z 6  7  11 

a) Discútase según los valores del parámetro real a. b) Resuélvase para a = 4

Solución: a) Para a  2 es Incompatible. Para a  2 es Compatible Determinado. b) x  5; y  2; z  9

1999 SEPTIEMBRE (Opción )

0 0  1   Sea la matriz A = 1 / 10 1 0  . 1 / 10 0 1   
a) Calcúlese A + A2.

 x   20    5  b) Resuélvase el sistema: A  y    5  z 1     
Solución:

0 0  2   a)  3 10 2 0   3 10 0 2   

b) x  20 y  5

z  9

Solución: 1. Si a  0 y a  1 , el sistema es Compatible Determinado (Solución única para cada valor del parámetro a) Si a=0, el sistema es Compatible Indeterminado (tiene infinitas soluciones) Si a=1 el Sistema es Incompatible (No tiene solución) 2. x 

5 1 1 , y , z 2 2 2

2000...