algebra


UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLAN

INGENIERIA EN TELECOMUNICACIONES SISTEMAS Y ELECTRONICA


Equipo 12

Grupo: 1111
Materia: AlgebraProfesor: Ing. Gonzalo Guadalupe Pacheco Estrada

5.5. Enunciado del Teorema de Cayley-Hamilton. Pag. 2
5.5.1. Definición y propiedades de las matrices similares. Pag. 3
5.5.2. Concepto deoperador diagonalizable. Pag. 6
5.5.3. Proceso de diagonalización de un operador lineal. Pag 8


2.- Ejemplo. Utilizar el Teorema de Cayley-Hamilton para obtener:



5.5.1.DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE LAS MATRICES SIMILARES
Definición
Se dice que una matriz A es semejante a otra matriz B (y se escribe A ~ B) si existe una matriz invertible P tal que A = PBP-1.
Para comprobaresta relación están las propiedades:
1. Reflexiva: A = IAI-1, luego A ~ A.
2. Simétrica: si existe P invertible tal que A = PBP-1 entonces existe Q invertible tal que B = QAQ-1 (basta tomar Q :=P-1). Es decir
A ~ B ⇒ B ~ A.
3. Transitiva: si existen P, Q invertibles tales que A = PBP-1 y B = QCQ-1 entonces existe R invertible tal que A = RCR-1 (basta tomar R = PQ). Por lo tanto,

Supongamosque A y B son dos matrices semejantes y sea P tal que A = PBP-1. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:
1. A y B son las matrices de la misma aplicación lineal, pero expresadas en dos basesdiferentes.
2. Si (λ, v) es una pareja de (autovalor, autovector) de la matriz A entonces (λ, P-1v) es una pareja de (autovalor, autovector) de la matriz B:
3. A y B tienen los mismos autovalores,con las mismas multiplicidades algebraicas y con las mismas multiplicidades geométricas.
4. A es diagonalizable si y sólo si B es diagonalizable.
5. A es diagonalizable si y sólo si existe unamatriz diagonal que es semejante a A.
6. Dos matrices semejantes tienen iguales: el determinante, el rango y la traza.
7. Se cumple que PB = AP.

Ejercicio 1:
Solución:
Demostrar que A y B son...