algebra

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA







TRABAJO COLABORATIVO NUMERO 3
CALCULO DIFERENCIAL
100410



















2014
RESUMEN
En el presente trabajo desarrollaremos diferentes tipos de sucesiones y progresiones, gracias a la formulación matemática plantearemos de manera clara laconvergencia y divergencia de un tipo de sucesión, además de ello mediante aplicación de formulas podremos entender cuando las funciones son crecientes y decreciente, dentro de estos aspectos es gran importancia solucionar problemas aplicativos los cuales nos ayudan a complementar conocimientos adquiridos en módulos y materias anteriores a esta, es de gran importancia las aplicaciones ya que se podráobservar que son actividades diarias y desarrolladas en nuestro campo de aplicación ingenieril.

PALABRAS CLAVES: Sucesiones, convergencia, creciente, progresiones

INTRODUCCIÓN

Una notable herramienta matemática la conforma el concepto de sucesión, si bien aplicada a ideas de índole más bien analítica, ya que las sucesiones nos permitirán hablar más adelante de conceptos como los límites, lacontinuidad y derivabilidad de funciones... Sera más adelante cuando le saquemos el mayor partido a las sucesiones, ahora tan solo vamos a ver el concepto de números en sucesión, as como tres tipos de sucesiones muy curiosas; las aritméticas (o aquellas cuya diferencia entre termino y termino es constante), las geométricas (o aquellas cuyo cociente entre termino y termino es constante), y lasrecurrentes (o aquellas cuyos términos se obtienen a partir de sumas o restas de los Anteriores). De las dos primeras aprenderemos a deducir sus propiedades fundamentales, como son la suma cualquiera de términos

PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD TRABAJO COLABORATIVO 1:

1. Determine si la sucesión es convergente o divergente, demuéstrelo paso a paso.



Para demostrar que la sucesión esconvergente o divergente, debemos demostrarlo por medio de un límite, para lo cual se toma el límite al infinito de la expresión matemática que tenemos así:



Para la solución del problema y aplicar el límite cuando tiende a infinito podemos destruir el paréntesis o aplicar las propiedades:



Según las recomendaciones de la bibliografía para la solución de un límite al infinito debemosdividir la expresión sobre la variable de mayor exponente, para este caso es n:




Aplicando el límite a la expresión obtenida tenemos que (todo numero dividido por un valor muy grande como infinito tiende a cero se debe de tener en cuenta a la hora de aplicar el límite):



Se demuestra que la sucesión es convergente ya que al solucionar el límite cuando tiende al infinito se obtiene unvalor real y positivo.

2. Sucesiones monótonas: demostrar que la sucesión es estrictamente creciente o decreciente demuéstrelo paso a paso:



La definición de una sucesión estrictamente creciente dice que debe cumplir con el criterio que cada término es mayor al anterior por lo cual podemos demostrarlos de dos formas una por el límite y otra por definición así:

Demostración porlímite: Para la demostración aplicamos el límite al infinito y determinamos su valor:



Ahora como la expresión tiende al infinito, debemos dividir la expresión por la variable de mayor potencia n:



Demostración por definición de estrictamente creciente: debemos sustituir el valor de n por n+1 y de allí resolver la siguiente desigualdad:




Si reemplazamos valores desde n=1,2,3… y asísucesivamente podemos ver que no se cumple la igualdad ahora revisaremos el criterio de estrictamente decreciente modificando la desigualdad:



Ahora podemos apreciar que este criterio si funciona ya que cada vez que reemplazamos a n por cualquier valor de n el termino del lado izquierdo es mayor al termino del lado derecho.

El limite tiende a uno desde por el lado izquierdo por lo cual...