Algebra
Páginas: 608 (151941 palabras)
Publicado: 23 de marzo de 2015
Carlos Ivorra Castillo
´
ALGEBRA
Mathematics, rightly viewed, possesses not only
truth, but supreme beauty —a beauty cold and austere, like that of sculpture.
Bertrand Russell
´Indice General
Introducci´
on
ix
Preliminares conjuntistas
xv
Cap´ıtulo I: Los n´
umeros enteros y racionales
1.1 Construcci´
on de los n´
umeros enteros . . . .
1.2 Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
1.3 Cuerpos de cocientes. N´
umeros racionales .
1.4 Cuaterniones racionales . . . . . . . . . . .
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Cap´ıtulo II: Anillos de polinomios
15
2.1 Construcci´
on de los anillos de polinomios . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Evaluaci´
on de polinomios . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 19
2.3 Propiedades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Cap´ıtulo III: Ideales
25
3.1 Ideales en un dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Dominios de ideales principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Anillos noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Cap´ıtulo IV: Divisibilidad en dominios´ıntegros
4.1 Conceptos b´
asicos . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Ideales y divisibilidad . . . . . . . . . . . . .
4.3 Divisibilidad en Z . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Divisibilidad en anillos de polinomios . . . . .
Cap´ıtulo V: Congruencias y anillos cociente
5.1 Definiciones b´
asicas . . . . . . . . . . . . .
5.2 N´
umeros perfectos . . . . . . . . . . . . .
5.3 Unidades . . . . . . . . . . .. . . . . . .
5.4 Homomorfismos y anillos cociente . . . . .
5.5 Cocientes de anillos de polinomios . . . .
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´INDICEGENERAL
vi
Cap´ıtulo VI: Algunas aplicaciones
6.1 Ternas pitag´
oricas . . . . . . .
6.2 Sumas de dos cuadrados . . . .
6.3 Sumas de cuatro cuadrados . .
6.4 N´
umeros de la forma x2 + 3y 2 .
6.5 La ecuaci´
on x2 + 3y 2 = z 3 . . .
´
6.6 El Ultimo Teorema de Fermat .
6.7 Enteros ciclot´
omicos . . . . . .
Cap´ıtulo VII: M´
odulos
7.1 M´
odulos . . . . .
7.2 Suma de m´
odulos
7.3 M´
odulos libres..
y espacios
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Cap´ıtulo VIII: Extensiones de cuerpos
8.1 Extensiones algebraicas . . . . . .
8.2 Homomorfismos entre extensiones .
8.3 Clausuras algebraicas . . . . . . . .
8.4 Extensiones normales . . . . . . . .
8.5 Extensiones separables . . . . . . .
8.6 El teorema del elemento primitivo
8.7 Normasy trazas . . . . . . . . . .
Cap´ıtulo IX: Grupos
9.1 Definici´
on y propiedades b´
asicas .
9.2 Grupos de permutaciones . . . . .
9.3 Generadores, grupos c´ıclicos . . . .
9.4 Conjugaci´
on y subgrupos normales
9.5 Producto de grupos . . . . . . . . .
9.6 Grupos cociente . . . . . . . . . . .
9.7 Grupos alternados . . . . . . . . .
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Mathematics, rightly viewed, possesses not only
truth, but supreme beauty —a beauty cold and austere, like that of sculpture.
Bertrand Russell
´Indice General
Introducci´
on
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Preliminares conjuntistas
xv
Cap´ıtulo I: Los n´
umeros enteros y racionales
1.1 Construcci´
on de los n´
umeros enteros . . . .
1.2 Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
1.3 Cuerpos de cocientes. N´
umeros racionales .
1.4 Cuaterniones racionales . . . . . . . . . . .
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2.1 Construcci´
on de los anillos de polinomios . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Evaluaci´
on de polinomios . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 19
2.3 Propiedades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Cap´ıtulo III: Ideales
25
3.1 Ideales en un dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Dominios de ideales principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Anillos noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Cap´ıtulo IV: Divisibilidad en dominios´ıntegros
4.1 Conceptos b´
asicos . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Ideales y divisibilidad . . . . . . . . . . . . .
4.3 Divisibilidad en Z . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Divisibilidad en anillos de polinomios . . . . .
Cap´ıtulo V: Congruencias y anillos cociente
5.1 Definiciones b´
asicas . . . . . . . . . . . . .
5.2 N´
umeros perfectos . . . . . . . . . . . . .
5.3 Unidades . . . . . . . . . . .. . . . . . .
5.4 Homomorfismos y anillos cociente . . . . .
5.5 Cocientes de anillos de polinomios . . . .
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Cap´ıtulo VI: Algunas aplicaciones
6.1 Ternas pitag´
oricas . . . . . . .
6.2 Sumas de dos cuadrados . . . .
6.3 Sumas de cuatro cuadrados . .
6.4 N´
umeros de la forma x2 + 3y 2 .
6.5 La ecuaci´
on x2 + 3y 2 = z 3 . . .
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6.6 El Ultimo Teorema de Fermat .
6.7 Enteros ciclot´
omicos . . . . . .
Cap´ıtulo VII: M´
odulos
7.1 M´
odulos . . . . .
7.2 Suma de m´
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Cap´ıtulo VIII: Extensiones de cuerpos
8.1 Extensiones algebraicas . . . . . .
8.2 Homomorfismos entre extensiones .
8.3 Clausuras algebraicas . . . . . . . .
8.4 Extensiones normales . . . . . . . .
8.5 Extensiones separables . . . . . . .
8.6 El teorema del elemento primitivo
8.7 Normasy trazas . . . . . . . . . .
Cap´ıtulo IX: Grupos
9.1 Definici´
on y propiedades b´
asicas .
9.2 Grupos de permutaciones . . . . .
9.3 Generadores, grupos c´ıclicos . . . .
9.4 Conjugaci´
on y subgrupos normales
9.5 Producto de grupos . . . . . . . . .
9.6 Grupos cociente . . . . . . . . . . .
9.7 Grupos alternados . . . . . . . . .
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