Algebra

´ Asignatura: MATEMATICAS II – Curso: 2010-2011 Relaci´n de problemas 1: Matrices y sistemas de ecuaciones lineales o 1.1 Sean A y B dos matrices de ´rdenes 4 × 5 y C, D y E matrices de ´rdenes 5 × 2, o o 4 × 2 y 5 × 4 respectivamente. Determina cu´les de las siguientes expresiones est´n a a definidas, indicando, para aquellas que lo est´n, el orden de la matriz resultante: e a) BA
Soluci´n: no.o Soluci´n: 4 × 2. o Soluci´n: no. o Soluci´n: no. o Soluci´n: 5 × 5. o Soluci´n: 5 × 2. o Soluci´n: no. o Soluci´n: 5 × 2. o

b) AC + D c) AE + B d ) AB + B e) E(A + B) f ) E(AC) g) E t A
t

h) (A + E)D

* 1.2 Se consideran las matrices siguientes:   3 0 A =  −1 2  B = 1 1  1 5 2 D =  −1 0 1  3 2 4 Calcula:
  12 −3  5   1  7 6 5  1 3   3 7

4 −1 0 2 

C=

1 4 2 3 15



 6 1 3 E =  −1 1 2  . 4 1 3

a) AB

 Soluci´n:  −4 o  4 

b) D + E

c)

d)

 Soluci´n:  −2 o  7  −5   0 D − E Soluci´n:  o −1  9 8  DE Soluci´n:  −2 0 o  32 9

  −1 −1   1 1  19  0   25 4 −1

2
 14 36 25    Soluci´n:  4 −1 7  o   12 26 21 Soluci´n: o −28  42 108 75 7 

Tema 1: Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

e) ED

f) −7B

0 −14

g) (3E)D

h) D + E 2

  Soluci´n:  12 −3 21  o   36 78 63   48 15 31   Soluci´n:  0 2 6  o   38 10 27 Soluci´n: o 11 66 24 16  0 0  0 0   0 0

i ) (BB t )C

j ) Dt E t − (ED)t

10 −4  0   0 Soluci´n:  o 0

* 1.3 Calcula A3 , A2 − 2A + I2 , siendo A=
1 0

1 0 2 3

.
0 0

Soluci´n: A3 = o

26 27

,

A2 − 2A + I2 =

4 4

.

1.4Determina el producto de dos matrices diagonales del mismo orden. Deduce la expresi´n de la potencia n-´sima (n natural) de una matriz diagonal. o e 1.5 Justifica cu´les de las siguientes matrices son escalonadas por filas. ¿Es alguna a escalonada reducida por filas?  2 0 0 5 a) A =  0 1 0 −2  0 0 1 4   1 0 0 5 b) B =  0 1 0 −2  0 1 1 4   1 0 0 5 c) C =  0 1 1 −2  0 0 1 4 

Soluci´n: noescalonada. o

Soluci´n: no escalonada. o

Soluci´n: escalonada, no reducida. o

Tema 1: Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

3

1 0 0 d) D =  0 1 0 0 0 1  1 0 0  0 1 2 e) E =   0 0 1 3 5 0  1 0 0  0 1 2 f) F = 0 0 1



 5 −2  Soluci´n: escalonada reducida. o 4  0 7 5 3   Soluci´n: no escalonada. o 3 5  0 0  0 −2  Soluci´n: escalonada, no reducida. o 0

*1.6 Calcula el rango de las siguientes matrices:   3 0 0 3 0  2 2 1 1 −1   Soluci´n: 4. a)  o  6 2 0 4 4  4 0 1 3 1   0. 5 1 3 1 4  0. 5 1 1 2 8   o b)   0. 5 0 3 1 1  Soluci´n: 4. 1 1 0 4 13   7 4 1 o c)  1 2 2  Soluci´n: 2. 8 6 3   3 7 4 −1 d )  2 11 6 17  Soluci´n: 3. o 5 1 24 −7 * 1.7 Halla la matriz inversa de las matrices que entre las siguientes sean regulares:   −825 40 a)  2/5 3 −2  Soluci´n: no regular. o 0 27 0     5 1 2 1 0 −1  1 2 3  Soluci´n:  3 2 −3  b)  0 o   7 1 −1 1 −2 1 2 1 2 −1 2  c)  0 1 1 2 0 1 −1 2  0 −3 5 d)   1 4 0 0 5 −6   
   Soluci´n:  o  −4 −2 2 −1     Soluci´n:  o    1 −2   0 1
7 − 13 1 13 2 13 1 13 3 − 260 71 260 51 260 7 − 260 29 − 260

5

4 6   3  7



263 260 71 − 260 51 − 260 7260



 7 − 260    27  − 260 
19 260

4 1 2  0 2 e)   0 0 0 0  3 3 3 0 4 4   4  4 
   0  Soluci´n:  o  0  0 1 −1
1 2

Tema 1: Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

 0
1 −2 1 3

0 0

 0    1  −3 
1 4

0

0

1.8 Si A es una matriz cuadrada tal que A2 − 3A + I = 0, demuestra que A es inversible y calcula la inversa. 1.9 Dada la matriz  0 2−1 1  A= 0 0 0 0 0 

demuestra que A3 es la matriz nula, y que A2 + A + I3 es la matriz inversa de I3 − A. 1.10 Dadas las matrices  1 −3 2 1 −3  , A= 2 4 −3 −1   1 4 1 0 1 1 1 , B= 2 1 −2 1 2   2 1 −1 −2 C =  3 −2 −1 −1  , 2 −5 −1 0 

comprueba que AB = AC. Concluye que la matriz A no es regular. * 1.11 Calcula los determinantes de las matrices  7 0 7 o a)  1 6 1  Soluci´n:...