Algebra

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Sistemas de ecuaciones Lineales.
3.1 Definicion de sistemas de ecuaciones lineales.
3.2 Clasificacion de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solucion
3.3 Interpretacion geometrica de las soluciones.
3.4 Metodos de solucion de un sistema de ecuaciones lineales: Gauss, Gauss Jordan, inversa de una matriz y reglade Cramer.
3.5 Aplicaciones
Unidad 3 Sistemas de ecuaciones lineales
3.1 Introducción.
3.2 Método de matriz inversa.
3.3 Método de solución de Gauss y de Gauss-Jordan.
3.4 Regla de Cramer.
3.5 Sistemas lineales homogéneos.
3.6 Método iterativo de Jacobi.
3.7 Método iterativo de Gauss-Seidel.
 Método de la matriz inversa
Para obtener la inversa de una matriz, se apoya de la siguiente forma:
A-1 =1 a22 -a12 a11 -a12
det A -a21 a11 -a21 a22
Ejemplos:
A = 12 4 (12)(1) - (3)(4) = 12-12 =0
3 1 No tiene Inversa
1 1 1
A = 4 1 4
2 2 5
Se aumenta en la parte derecha una matriz identidad y posterior mente se iguala la matriz inicial a una matriz identidad.
1 1 1 1 0 0 (-4) (-2)
4 -4 1 -4 4-4 0 -4 1 0
2 -2 2 -2 5 -2 0 -2 0 1
1 1 1 1 0 0
0 -3 /-3 0/-3 -4/-3 1/-3 0/-3 / (-3)
0 0 3 -2 0 1
1 1-1 11-4/3 0+1/3 0
0 1 0 4/3 -1/3 0 (-1)
0 0 3 -2 0 1 / 3
1 0 1 -1/3+2/3 1/3 0-1/3
0 1 0 4/3 -1/3 0
0 0 1 -2/3 0 1/3 (-1)
1 0 1 1/3 1/3 -1/3
0 1 0 4/3 -1/3 0
0 0 1 -4/3 -1/3 1/3
A-1 = 1/3 1/3 -1/3 X = b / A 9
4/3 -1/3 0 b = 27
4/3 -1/3 1/3 X = A-1 b 30
1/3 1/3 -1/3 9 9/3 + 27/3 - 30/30
4/3 -1/3 0 27 = 36/3 - 27/3 + 0
4/3 -1/3 1/3 30 - 18/3 + 0 + 30/3
X1 2
X2 = 3
X3 4
Comprobación:
Sustitución de losvalores X1,X2 y X3 en las ecuaciones 1,2 y3.
Ecua. 1 1 X1 + 1X2 + 1X3 = 9
1(2) + 1(3) + 1(4) = 9
2 + 3 + 4 = 9
9 = 9
Ecua. 2 4 X1 + 1X2 + 4X3 = 27
4(2) +1(3) + 4(4) = 27
8 + 3 + 16 =27
27 = 27
Ecua. 3 2 X1 + 2X2 + 5X3 = 30
2(2) +2(3 ) +5(4) = 30
4 + 6 + 20 = 30
30 = 30
3.3 Método de solución de Gauss y Gauss Jordan.
Consiste en hacer una diagonal con uno y debajo de esta se deben convertir en ceros,mientras que el resultado del termino común,se utiliza para despejar la incógnita y se encuentra así su valor de la ultima incógnita, que permite encontrar el valor de las demás.
Ejemplo:
2X1 + 4X2 + 6X3 = 18
4X1 + 5X2 + 6X3 = 24
3X1 + 1X2 - 2X3 = 4
2 4 6 18 /2
4 5 6 24
3 1 -2 4
1 2 3 9 (-4) (-3)
4-4 5-8 6-12 24-36
3-3 1-6 -2-9 4-27
1 2 3 9
0 -3 -6 -12 /(-3)
0 -5 -11 -23
1 2 3 9
0 1 2 4 (5)
0 -5 +5-11+10 -23+20
1 2 3 9
0 1 2 4
0 0 -1 -3 / (-1)
X1 X2 X3 R
1 2 3 9 Ecuación 2
0 1 2 4 Ecuación 2
0 0 1 3 Ecuación 2
Matriz escalonada
Se sustituye el valor de X3 = -3 en la ecuaciones de la matriz obtenida.
Sustitución de X3 = -3 en la ecuación 2.
X2 + 2 X3 = 4
X2 + 2(3) = 4
X2 + 6 = 4
X2 = 4-6
X2- = -2
X1 + 2 X2 + 3 X3 = 9
X1 + 2 (-2) + 3 (3) = 9
X1 - 4 + 9 = 9
X1 = 9-9+4
X1 = 4
Comprobación:
2X1 +4X2 + 6X3 = 18
2(4) + 4(-2) + 6(3) = 18
8 - 8 + 18 = 18
18 = 18
Método de Gauss Jordan
Consiste en encontrar una matriz identidad, y con los valores que se obtengan en el termino independiente, van a corresponder al valor de las incógnitas.
2X1 + 4X2 + 6X3 = 18
4X1 + 5X2 + 6X3 = 24
3X1 + 1X2 - 2X3 = 4
2 4 6 18 /2
4 5 6 24
3 1 -2 4
1 2 3 9 (-4) (-3)
4-4 5-8 6-12 24-36
3-3 1-6 -2-9 4-27
1 2 3 9
0-3 -6 -12 /(-3)
0 -5 -11 -23
1 2-2 3-4 9-8
0 1 2 4 (-2) (5)
0 -5 +5 -11+10 -23+20
1 0 -1 1
0 1 2 4
0 0 -1 -3 / (-1)
1 0 -1+1 1+3
0 1 2-2 4-6
0 0 1 3 (-2) (1)
1 0 0 4
0 1 0 -2
0 0 1 3
X1 = 4
X2 = -2
X3 = 3
Sustitución de valores:
2X1 + 4X2 + 6X3 = 18
2(4) + 4(-2) + 6(3) = 18
8 - 8 + 18 = 18
18 = 18
3.4 Regla de Cramer
3X1 + 5X2 + 6 X3 =24
3X1 + X2 - 2X3 =4
2X1 + 4X2 + 6X3 =18
2 4 6 18
3 5 6 24
3 1-2 4
Solución por el método de menores y cofactores:
Obtención del valor de D
Se realiza con la matriz de los coeficientes.
2 4 6 2 4
D = 3 5 6 3 5
3 1 -2 3 1
D =-20 + 72 +18 - 90 - 12 + 24 = - 8
Obtención del valor de D1
Los valores de la columna 1 se cambian por los valores del termino independiente.
18 4 6 18 4
D1 = 24 5 6 24 5
4 1 -2 4 1
D1 = - 180 + 48 + 144 - 120 - 108 + 192 = 24
Obtención...