Algebra

ÁLGEBRA DE BOOLE
Álgebra de Boole (también llamada Retículas booleanas) en informática y matemática, es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O , NO y Si (AND,OR,NOT,IF), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.


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HISTORIA
Se denomina así en honor a George Boole (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864),matemático inglés autodidacta, que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico, inicialmente en un pequeño folleto: The Mathematical Analysis of Logic[1] , publicado en 1847, en respuesta a una controversia en curso entre Augustus De Morgan y Sir William Hamilton. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógicaproposicional. Más tarde como un libro más importante: The Laws of Thought[2] , publicado en 1854.
En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948. Esta logica se puede aplicar a dos campos:
Al análisis, porque es una forma concreta dedescribir como funcionan los circuitos.
Al diseño, ya que teniendo una función aplicamos dicha álgebra, para poder desarrollar una implementación de la función.
Definición
Una álgebra de Boole es una tripleta . Donde , y son operaciones binarias y también operaciones internas en y además para cualquier se cumplen los siguientes axiomas:

2. Propiedad asociativa:
1. Propiedad conmutativa:3. Propiedad distributiva:

4. Propiedad de los neutros. Existen tales que:

5. Se cumple la propiedad: tal que:
| | |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |

| | |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |

Algunos autores al definir un Algebra de Boole, prescinden del axioma o Ley Asociativa porque consideran que es una propiedad demostrable a partir de los restantes axiomas y propiedades ya demostradas.Por ejemplo, puede demostrarse la propiedad o Ley Asociativa a partir de los restantes axiomas y de la propiedad o Ley e Absorción.[3]
COMO RETÍCULO
Como retículo presenta las siguientes propiedades, las leyes principales son estas:
1. Ley de Idempotencia:

2. Ley de Asociatividad:

3. Ley de Conmutatividad:

4. Ley de Cancelativo

5. Ley de Absorción

OPERACIÓN SUMA
a | b | a + b|
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 |
La operación suma (+) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:

Su equivalencia en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo.

Si uno de los valores de a o b es 1, el resultado será 1, es necesario que los dos sumandos sean 0, para que el resultado sea 0.
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TEOREMA

Estaimagen muestra la relación entre las cadenas de caracteres, las fórmulas bien formadas y los teoremas. En algunos sistemas formales, sin embargo, el conjunto de los teoremas coincide con el de las fórmulas bien formadas.
Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada dentro de un sistema formal. Demostrar teoremas es un asunto central en la lógica y la matemática.
Un teorema generalmenteposee un número de premisas que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano. Luego existe una conclusión, una afirmación lógica o matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones dadas. El contenido informativo del teorema es la relación que existe entre la hipótesis y la tesis o conclusión.
Se llama corolario a una afirmación lógica que sea consecuencia inmediata de un teorema, pudiendo serdemostrada usando las propiedades del teorema previamente demostrado.

POSTULADO

En los Elementos, Euclides expuso los postulados de la Geometría clásica.
Un postulado es una proposición no evidente por sí misma, ni demostrada, pero que se acepta ya que no existe otro principio al que pueda ser referida.[1]
Difiere del axioma en que, en un sistema hipotético-deductivo, es toda proposición...