Algebra

Algebra lineal ----Aplicaciones

En 1981, el transbordador espacial Columbia fue lanzado al espacio con un dispositivo llamado Sistema Manipulador Remoto del Transbordador (SRMS, por sus siglas en; inglés). Este brazo robótico, conocido como el Canadarrn, ha demostrado ser una herramienta vital en todas las misiones subsecuentes del transbordador, proporcionando un manejo preciso y delicado desus cargas (véase la figura 3.15).

El Canadarm ha sido utilizado para colocar satélites en sus órbitas y para recoger los que necesitan reparación; y también ha hecho reparaciones críticas al transbordador mismo. Es de hacer notar que el brazo robótico haya sido una pieza clave en el éxito de la reparación del Telescopio Espacial Hubble. Desde 1998, el Canadarm ha tenido una importancia crucialen el ensamble de la Estación Espacial Internacional. El brazo robótico consiste en una serie de cadenas de longitud fija conectadas las juntas que les permiten rotar. Cada cadena puede rotar en el espacio (por medio del efecto de otras cadenas), trasladarse de manera paralela a sí mismo o moverse mediante una combinación (composición) de rotaciones y translaciones. Antes de que podamos diseñarun modelo matemático para un brazo robótico, necesitamos entender cómo funcionan las rotaciones y las traslaciones en conjunto. Para simplificar el problema, asumiremos que nuestro brazo está en R 2 En la sección 3.6, vimos que la matriz de una rotación R desde el origen a través

cos   sin
de un ángulo e es una transformación lineal con matriz

sin

cos 

a
(fig. 3.16 (a)).Si vtransformación, =

b x

,entonces una translación a lo largo de v es una

T(x) = x+v o, equivalente T

y



xa yb
(fig 3.16(b))

Oscar Hidalgo

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Desafortunadamente, la translación no es una transformación lineal T(0)  0. Sin embargo, existe un truco para rodear el problema. Podemos representar el vector

x
x y 1 x= como el vector en R 3 . Aesto se le llama representar x en coordenadas homogéneas. Entonces la multiplicación matricial. ,

y

1 0 a 0 1 b 0 0 1

x y 1 

xa yb 1

representa el vector trasladado T(x) en coordenadas homogéneas. Podemos tratar las rotaciones en coordenadas homogéneas también. La multiplicación de matrices.

cos   sin 0 sin 0 cos  0 0 1

x y 1 

xa yb 1

representa el vector rotadoR(x) en coordenadas homogéneas. La composición T  R que da la rotación R seguida de la translación T está representada ahora por el producto

1 0 a 0 1 b 0 0 1

cos   sin 0 sin 0 cos  0 0 1 

cos   sin a sin 0 cos  b 0 1

(Observe que R o T,* T» R.) Para modelar un brazo robótico, le damos a cada cadena su propio sistema de coordenadas (denominado marco) y examinamos cómo semueve una cadena en relación con aquellos con los cuales está directamente conectada. Para ser específicos, sean X i y Y i los ejes coordenados para la cadena Ai, con eI eje X; alineado con la cadena. La longitud de A i se denota por a i , y el ángulo entre K¡ y Xi-1 se denota mediante  i . La unión entre Ai y A i1 está en el punto (0,0) en relación con A ¡ y (a i1 , 0 ) respecto de A i1 . Porlo tanto, en relación con A i1 , el sistema de coordenadas para A i ha sido rotado a través

Oscar Hidalgo

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a i1 0 de  , y luego trasladado a lo largo de (figura 3.17). Esta transformación se representa en las coordenadas homogéneas mediante la matriz

cos   sin a i1 sin 0 cos  0 0 1

Para dar un ejemplo específico, considere la figura 3.18(a).Ahí se muestra un brazo con tres cadenas en las cuales A i está en su posición inicial y cada una de las otras dos cadenas ha sido rotada 45° a partir de la cadena anterior. Tomaremos la longitud de cada cadena como 2 unidades. La figura 3.18(b) muestra a A j en su marco inicial. La transformación .

cos45  sin45 a i1
3

1/ 2 1/ 2 2 1/ 2 1/ 2 0



sin45

cos45

0

0 0 1 0 0 1...