Algebra

Problema:
En el área de algebra lineal queremos saber para qué sirven los sistemas de matrices en la profesión de ingeniería civil, y de acuerdo a las investigaciones hechas pudimos encontrar que podemos saber cuál es la rigidez de una estructura por medio de matrices

Definición de matrices:
En general, una matriz es un conjunto ordenado en una estructura de filas y columnas.Los elementos de este conjunto pueden ser objetos matemáticos de muy variados tipos, aunque de forma particular, trabajaremos exclusivamente con matrices formadas por números reales.
Normalmente las matrices son designadas por letras mayúsculas.
Los elementos de una matriz se identifican por la fila y la columna que ocupan. Así, designaremos por a32 el elemento que está situado en la tercera fila y segundacolumna de la matriz A.
El número de filas y columnas que tiene una matriz se llama dimensión de la matriz.
Una matriz es una estructura rectangular de números

Los valores aij se llaman los elementos de la matriz. La matriz completa se representa
Por (aij ). Si la matriz tiene m filas y n columnas, se dice que tienen dimensión m £ n.
Definición 0.2 Dos matrices son iguales si tienen la mismadimensión y los elementos
Que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.
Otros nombres que deben conocerse:
² Si el numero de filas es igual que el numero de columnas, la matriz se llama cuadrada.
A ese numero (el de filas o el de columnas) se le llama el orden de la matriz cuadrada.
² Se llama matriz fila aquella que tiene una sola fila, por ejemplo

² Se llama matriz columna aquella quetiene una sola columna, por ejemplo

² En una matriz cuadrada se llama diagonal principal al conjunto de los elementos de
la forma aii
.
² Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At
, a la
que se obtiene cambiando las filas y las columnas, por ejemplo

Si la dimension de A es m £ n, la de At
es n £ m.
² Una matriz cuadrada se llama simetrica si es igual asu traspuesta, por ejemplo
²
Se llama matriz nula aquella cuyos elementos son 0; por ejemplo

es la matriz nula de dimension 2 £ 3.
² Se llama matriz diagonal a la matriz cuadrada que tiene nulos todos los términos
Que no están en la diagonal principal, por ejemplo

² Se llama matriz unidad o matriz identidad a la matriz diagonal que tiene todos los
Elementos de la diagonal principal iguala 1; por ejemplo

Es la matriz unidad de orden 3.
² Se llama matriz triangular superior (inferior) a toda matriz cuadrada que tiene
Nulos todos los términos que están por debajo (encima) de la diagonal principal por ejemplo

Matriz de rigidez
Si la matriz de flexibilidad relaciona cargas actuantes con Desplazamientos en los nodos en los que las cargas actúan,

La matriz de rigidez, quees la inversa de la matriz de flexibilidad, relaciona desplazamientos con cargas actuantes.

¿Qué representan los términos de la matriz de rigidez?-
Considérese el caso de un sólido sometido a un sistema de fuerzas como se indica en la figura

¿Qué valor, por ejemplo, debería tomar P1 para que ∆1=1, ∆2=∆3=0 (situación representada en la figura)?

´
Sea la primera fila del sistema deecuaciones cuya matriz de coeficientes es la matriz de rigidez.
P1 = k11 ∆1+k12 ∆2 + k13∆3
Si en esta ecuación se imponen las condiciones de movimientos planteadas, se obtiene
P1 = k11 1+ k12 0 + k13 0 = k11
Es decir, kii representa la carga a aplicar en el punto i-ésimo para conseguir un desplazamiento unidad en este punto en la dirección de la carga aplicada en dicho punto permaneciendoel resto de los puntos sin movimiento.
Algunas precisiones:
• La carga a aplicar se entiende que tiene la misma dirección que Pi.
• El desplazamiento unidad debe entenderse que es la componente sobre la dirección de Pi.
• Que el resto de los puntos permanece sin movimiento se refiere a la ausencia de desplazamientos en las direcciones de las cargas aplicadas Pj (j≠i)
• Si hubiera...