algebra

TRILCE

Capítulo

LEYES DE EXPONENTES
ECUACIONES EXPONENCIALES

1
POTENCIACIÓN

TEOREMAS

Es la operación matemática que tiene por objetivo
encontrar una expresión llamada potencia (p), conociendo
previamente otras dos expresiones denominadas base (b) y
exponente (n).

1.

b  base ; b  R

bn  p ; donde n  exp o nente ; n  Z
p  potencia ; p  R


2.

Multiplicación : bases iguales.
a m. an  a m  n
4 2
4 2
 x6
Ejemplo : x . x  x

División : bases iguales.

am
an

Así pues, en 23 = 8 : 2 es la base, 3 es el exponente y 8 es
la potencia.

Ejemplo :

x10
x7

 am  n ; a = 0

 x10 7  x 3

DEFINICIONES
1.

3.
Exponente cero

Potencia de potencia.
(a m )n  a m.n

ao  1 ; a = 0

Ejemplo : (x 2 )5  x 2 . 5  x 10
o

o
Ejemplo : 5 o  1 ; (3)  1 ;  7  1

2.

4.Multiplicación : exponentes iguales.
an bn = (ab)n

Exponente uno
a1 = a

Ejemplo :

a3 b3 c3  (abc)3
1

Ejemplo : 4  4
3.

(x 2 . y 3 )5  (x 2 )5 . (y3 )5  x10 . y15

Exponente entero positivo
5.

División : exponentes iguales.

an = a.a.a. ...... . a ; n  2

an

"n" veces

b

n

 a 
 
 b

n

;b=0

Ejemplo : 73  7 . 7 . 7  343
Ejemplo :
4.

Exponente negativo.

a n 

x3

1
an

;a=0

1 11
1
Ejemplo : 21  1 
; 3 2  2 
2
9
2
3

 x 
  
3
y
 y 

 x4

 y3


3

2

4 2
8

  (x )  x

(y 3 )2 y 6


9

Álgebra
RADICACIÓN

TEOREMAS :

Es una de las operaciones matemáticas inversas a la
potenciación cuyo objetivo es encontrar una expresión
llamada raíz (b), conociendo otras dos expresiones
denominadas radicando (a) e índice (n).

1.

Multiplicación : índicesiguales.
n

3

Ejemplo :



a  b ; donde  n
a

b

n

 signo radical
 Índice ; n  Z

2.

n
n

 Raíz ; b  R

x

Ejemplo :

3.

a, b R , n  Z

División : índices iguales.

 Radicando

3

1.

y

a b  ab

n

 8  2   8  (2)3

x
y

3

Ejemplo :

x 

3 2

a 

x 

6

m.n

a

x

n

n

1.

 a 
 
 b

2.

amb 

m

m

mk

3.

an 

 b 
   ; ab  0
 a 

am b ; a > 0

a nk; k  Z

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES
TRASCENDENTES

2004 existe en R.

 32 no existe en R.

Es aquella ecuación donde al menos uno de sus
miembros no es una expresión algebraica, así pues tenemos:

Exponente fraccionario.
a)
n

a

m



m
an

2

x

Como base y exponente a la vez
Ej. 2x  x  5 ; xx  3

2

(8) 3  3  8  (2)2  4

Formando parte de algún exponente
Ej. 5x1  125 ; 23  16b)

Ejemplo :

3.

a
;b=0
b

PROPIEDADES ADICIONALES

a  b  a  bn

Observación : Debemos tener en cuenta que dentro
del conjunto de los números reales no se define a la
radicación cuando el índice es par y el radicando
negativo, como en los ejemplos :

2.

n

b

m n

9  3  9  32

4

a

Raíz de raíz.

Ejemplos :

3




n

n

x . 3 y  3 xy



Así pues : en 64  4 : 3 es el índice, 64 elradicando y 4 la
raíz.
DEFINICIONES :

n

a . b  n a.b

c)

Afectada por algún operador
Ej. Logx2  x  1 ; Cos(2x)  0,5

 a  R  n  Z

ECUACIÓN EXPONENCIAL :
n

*

|a| : valor absoluto de "a", significa el valor positivo de "a".

Ejemplo :

10

 a ; n  # impar
a 
| a | ; n  # par
n

3

x3  x ;

x2  |x |

Es la ecuación trascendente que presenta a su
incógnita formando parte de algúnexponente.
2
Ejemplo : 5x 1  25

Teorema :

Transformando al segundo miembro se tendrá :
x

y

3

a  a  x  y ; a > 0; a = 1

Ejemplo : 7

x 1

x

5 x

7
 x 1  5  x
2x = 6
 x=3

Observación : Para resolver algunas ecuaciones
trascendentes, a veces es necesario recurrir al proceso de
comparación comúnmente llamado método de analogía, el
cual consiste en dar forma a una parte de laigualdad tomando
como modelo la otra. Veamos un ejemplo :
Ejemplo :

3

3

xx  3

33

x

3



x 

3

3

3 (representa un valor de "x").

Sin embargo, debemos indicar que el método de analogía
sólo nos brinda una solución, pudiendo haber otras, sino
veamos el siguiente ejemplo :
En :

x

x  2 se observa que x = 2

Pero

2 =

x

4

x 

4

4 , con lo cual tenemos :

4 de donde : x = 4.

11...