Algebra

TEMA 1 (15p)
Sea W un subespacio de R3

a) Halle una Base de W ortogonal

Manipulando al condición tenemos que 2a –b=c


Ahora, bien




b) Hallar w y p; p del complemento ortogonal tal q =w+p
Seconoce que:

Para hallar la proyección necesitamos una base ortonormal. Dado que tiene un solo vector en su base, es más sencillo comenzar por ahí






Luego si v=w+p:



TEMA 2 (15p)
Matriz
¿Esdiagonalizable? De serlo, halle D y C

Hallemos los valores propios










Obteniendo los vectores propios:
Para

Tomando y como variables libres:



Para





Tomando a como variable libre:Para cada valor distinto de encontramos que por tanto A es diagonalizable
Ahora bien dado que los vectores propios son linealmente independientes, podemos generar la matriz diagonal y la matrizque diagonaliza



Comprobando



TEMA 3 (15p)
Sea la T.L P1-> R3
Sea T(a+bx)=
a) Determine el kernel, la imagen y una base para cada uno


Tomando ; luego, con
, como Luego

Por teorema de ladimensión para transformaciones, tenemos que el rango de T es la dimensión de P1. Como la dimensión de la imagen, subespacio de P1 es igual a la dimensión del espacio, entonces Im(T)= P1 y luego una basepara la imagen es:


b) En función de las bases: B1= {2-x,1+x} de P1 y B2={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)} de R3 obtenga la Asociada
En la matriz asociada, necesitaremos las coordenadas de vectorestransformados de R3 en función de los vectores de la base, por otro lado, sería útil tener las coordenadas para cualquier vector:








Ahora sí, obtengamos las coordenadas con respecto a la base B2 de cadavector transformado de la base B1.




Finalmente, ordenamos en la matriz y listo:


TEMA 4 (16p)
La transformación lineal P1-> P1
Tal que T(1+x)=3+5x y T(3-x)=5+3x
a) Regla de correspondenciaTomando los vectores que se están transformando, nos damos cuenta que podemos formar una base:

Y además, podemos expresar cualquier vector v=a+bx de P1 como combinación lineal de los vectores de ésta...