Algebra

Números Reales

El Conjunto de los Números Reales (R) es la aplicación de otros conjuntos numéricos tales como:
El Conjunto de Números Naturales:
Integrado por los números que sirven para contar y enumerar cosas, compuestos por todos los números del 0 al 9.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

El Conjunto de Números enteros no Negativos (Z+)
Z+= {1, 2, 3, 4, 5, 6…}

El Conjunto delos Números enteros (Z):
Z= {-2, -3, -1, 0, 1, 3, 2…}

Conjuntos de Números Racionales (Q):
Integrado por los números de la forma p/q , donde p y q son números enteros y q ≠ 0.
Q= { 2/3 ,- 7/5 ,4/1 ,6/1 }
(Aquí entran los números con punto decimal)

Números Irracionales (I):
Está formado por todos los números que no se pueden escribir como el cociente de un entero.
I = { √2 ,√3,√(π ) }

Representación de los Números Reales en una Recta.

Los números reales se pueden representar mediante los puntos de una recta numérica: los positivos van a la derecha del CERO y los negativos a la izquierda del CERO.
Concluimos que cada número corresponde un solo punto de la recta y que, recíprocamente, a cada punto de la recta le corresponde un solo número real. Esto significaque están en correspondencia biunívoca; son equidistantes.

½
√4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Relación de orden entre los Números Reales
Entro dos números reales a y b existe una relación de orden en la que se establece que u número es menor o igual que otro. Desde el punto de vista geométrico, cuando dos números a y b se representan con puntos en una recta se cumple UNA de lassiguientes relaciones:
Si el punto corresponde a a está a la derecha del punto b, es mayor, lo que se denota:
a>b
Si el punto a está a la izquierda del punto b, es menor:
a a ó <
a)
a
b
3 4 5 6 7

b)
(a, b)

c)
a < x < b

Representar el conjunto de números > a y ≤ b.
a)
a

b
3 4 5 6 7
b)
(a, b]

c)
a < x ≤ b

Representar el conjunto de números > a aConjunto de números > a.
a)
a
3 4 5 6 7
b)
[a, ∞]

c)
x > a

Conjunto de números reales < a.
a)

a
3 4 5 6 7
b)
[-∞, a]

c) x < a

Conjunto de los números reales
a)
a b
3 4 5 6 7
b)
[-∞, ∞]
Operaciones Fundamentales
Las operaciones fundamentales del Álgebra son:
Suma
Resta
Multiplicación
División

Adición o Suma
PropiedadesConmutativa: El orden de los sumandos NO altera la suma.
a + b = b + a
12 + 3= 3 + 12
15 + 8= 8 + 15
3 + n = n + 3

Asociativa: Si se quiere efectuar la suma a, b y c sin cambiar el orden de los sumandos, hay dos opciones:

(a + b) + c = n
a + (b + c) = n

Existencia del Elemento neutro: La suma de a y el elemento 0, es igual a dicho número.

a + 0 = a
3 + 0 = 3

Existenciadel inverso aditivo: Si se considera un número real a, entonces existe –a, tal que la suma de ellos es igual a 0.
a + (- a) = 0
-a + a = 0

Valor absoluto de los números reales

Valor Absoluto de un número: Distancia del origen de la recta numérica a dicho número. ¡No hay distancia negativas!

|-5| = 5
| 5 | = 5
|- 3| = 3

Reglas de los signos para sumar números de signos diferentesEn la suma de dos números con signos diferentes, se resta el valor absoluto del menos al del número mayor.

20 + (-15) = 5
8 + (-14) = - 6
- 6 + 13 = 7

A partir de lo anterior, concluimos que al sumar dos números de signo diferente, se efectúa una resta aritmética: El mayor menos el menos (sin tomar en cuenta el signo), anteponiéndole el signo del mayor valor absoluto.Sustracción o Resta

Si se tienen dos números diferentes a = b + c, se duce que c es la diferencia entre a y b, y se escribe a – b = c. En este caso, a recibe el nombre de minuendo y b el de sustraendo y c el de diferencia.

La operación que permite determinar la diferencia entre dos números reales, se llama sustracción.
Es la operación inversa a la adición o suma porque permite, conocida la suma...