Algebra

´
Elementos de Algebra
L´ogica, Conjuntos, Relaciones, Funciones
y algo m´as...
Dr. Carlos Lizama
Departamento de Matem´atica y C.C.
Facultad de Ciencias
Universidad de Santiago de Chile

Prefacio
Este texto de estudio est´a dirigido a estudiantes de primer ciclo de ense n
˜anza en la Universidad de Santiago de Chile. En ´el se abordan los aspectos
b´asicos de matem´atica, como son susfundamentos axiom´aticos a partir de
la l´ogica y la teor´ıa de conjuntos. Se han escrito los primeros cap´ıtulos de
este libro en la convicci´on que una buena base formativa en el primer a˜
no de
ense˜
nanza universitaria son fundamentales para el buen avance y progreso
del estudiante en su trayecto en la universidad. De esta manera se aborda
desde un principio la idea de la demostraci´on o pruebamatem´atica pero
de una manera simple y gradual, avanzando hacia formas m´as abstractas
hacia el final del segundo cap´ıtulo. En el tercer cap´ıtulo se aborda un cl´asico
tema: Inducci´on Matem´atica. Se espera que con una buena comprensi´on y
ejercitaci´on de los contenidos previos, el estudiante pueda abordar este t´opico
con menor grado de dificultad que el que tradicionalmente ocurre.
Los cap´ıtulossiguientes son una elecci´on arbitraria del autor. Se pretende cubrir materias que requieren de un manejo fluido y que son el m´ınimo
necesario para tratar de asegurar el ´exito posterior del estudiante. Es com´
un
encontrar j´ovenes con falencias cuya causal es motivo de discusi´on y preocupaci´on en diversos estamentos. Sin embargo el objetivo aqu´ı es ocuparse del
problema, e intentar dar loselementos para resolverlo. Para ello, el cuarto y quinto cap´ıtulos comienzan abordando conceptos b´asicos de geometr´ıa
anal´ıtica. La idea de gr´afico, recta y funciones cuadr´aticas son cubiertos
con gran detalle. El sexto cap´ıtulo cubre el material de funci´on exponencial y logaritmo. Es com´
un encontrar fallas en el estudiante cuando ocupa
propiedades b´asicas de estas funciones que sonfundamentales en ´algebra y
c´alculo avanzado. Sin embargo un adecuado estudio mediante la visualizaci´on
gr´afica y, a partir de ello, el estudio de sus principales propiedades subsana
notablemente el problema. Finalmente, el s´eptimo cap´ıtulo introduce la no2

ci´on de sistemas de ecuaciones y matrices, a fin de preparar el camino para
un curso posterior sobre teor´ıa de matrices y ´algebralineal.
No es f´acil escribir un texto de matem´atica a nivel elemental cuando ya
se han escrito muchos y de muy buena calidad. Es factible, sin embargo,
reorganizar el material ya existente en un texto que est´e orientado a las
condiciones particulares de los estudiantes de una universidad o de un programa particular. Esto es precisamente lo que se ha pretendido hacer de
estos apuntes.
El autor agradecedesde ya a aquellos lectores que puedan contribuir a
la mejor´ıa de estos apuntes y a la ense˜
nanza de la matem´atica mediante sus
opiniones y sugerencias.
Especiales agradecimientos a Maricel C´aceres, quien escribi´o en Latex, en
tiempo r´ecord y con mucha dedicaci´on y paciencia el material de este texto.

Dr. Carlos Lizama

Santiago, 2002.

3

´Indice General
1 L´
ogica

6

1.1

Tablas deverdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Implicaci´on y Bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3

Tautolog´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4

Argumentos y el principio de demostraci´on . . . . . . . . . . . 18

1.5

Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.6

M´etodos de Demostraci´on . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.7

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2 Conjuntos, Relaciones y Funciones

36

2.1

Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2

Conjuntos de validez de funciones proposicionales . . . . . . . 44

2.3

Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4...