Algebra

5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal.
Transformaciones lineales: núcleo e imagen.
Teorema  1
Sea T: V S W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1,
v2, . . ., vn en V y todos los escalares a1, a2, . . . , an:
i. T(0) = 0
ii. T(u - v) = Tu - Tv
iii. T(a1v1 + a2v2 +. . .+ anvn) = a1Tv1 + a2Tv2 +. . .+ anTvn
Nota. En la parte i) el 0 de la izquierda es elvector cero en V; mientras que el 0 de la
derecha es el vector cero en W.
 

Teorema 2
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2, . . . , vn}. Sean w1,
w2, . . . , wn vectoresen W. Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V
en W tales que T1vi = T2vi = wi para i = 1, 2, . . . , n. Entonces para cualquier vector v ∈
V, T1v = T2v; es decir T1 = T2.
 
EjemploDefinición 1 Núcleo e imagen de una transformación lineal
Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T:V W una transformación lineal. Entonces
 
i . El núcleo de T, denotado por un, está dado porii. La imagen de T, denotado por Im T, esta dado por



Observacion 1. Observe que un T es no vacio porque, de acuerdo al teorema 1, T(0) = 0 de manera que 0 ϵ un T para cualquier transformaciónlineal T. Se tiene interés en encontrar otros vectores en V que “se transformen en 0”. De nuevo, observe que cuando escribimos T(0) = 0, el 0 de la izquierda está en V y el de la derecha en W.
 Observación 2. La imagen  de T es simplemente el conjunto de “imajenes” de los vectores en V bajo la transformación T. De hecho, si w = Tv, se dice que w es la imagen de v bajo T.
 
Antes de dar ejemplos denúcleos e imágenes , se demostrará un teorema de gran utilidad.
 
Teorema 4
Si T:V W es una transformación lineal, entonces
i.Un T es un subespacio de V.
ii.Im T es un subespacio de W.
 
Demostracioni.Sean u y v en un T; Entonces T(u + v) = Tu + Tv =0 + 0 =0 y T( ) =  = 0 = 0 de forma que u + v y ∝u están en un T.
ii. Sean w y x en Im T. Entonces w = Tu y x = Tv para dos vestores u y v en V. Esto...