ALGEBRA




UNIVERSIDAD TECNICA D EMANABI.
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS QUIMICAS Y MATEMATICAS.
PRIMER NIVEL.

MATERIA:
ALGEBRA LINEAL
DOCENTE:
ING. VICTOR MANUEL GARCIA PINARGOTE.
ESTUDIANTES:
GILER SANDRO.
RODRIGUEZ MISHELL
MERCHAN DAYANa










1. ESPACIOS VECTORIALES ORTOGONALIDAD.


ENVOLVENTES LINEALES.

2.- ESPACIO FILA DE UNA MATRIZ.


3.- DEPENDENCIA E INDENPENDENCIA LINEALES.


4.- BASE YDIMENSIONES.
Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un
SistemA generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.

Propiedades de las bases.
1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible).
2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible).
3. Una base de S permite expresar todoslos vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector.

Ejemplos de bases.
1. La base canónica (o base natural, o base estándar) deℜ n:

e1 = (1,0,. . . ,0)
e2 = (0,1,. . . ,0)
........
en = (0,0,. . . ,1)
- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.
- Son sistema generador de ℜn porque todo vector (a1,a2,. . . ,an)∈ ℜn se puedeexpresar como combinación lineal de ellos:
(a1,a2,. . . ,an)= a1(1,0,. . . ,0)+ a2(0,1,. . . ,0)+ . . . + an(0,0,. . . ,1)




2. Base de ℜ3 distinta de la canónica: (1,0,0), (1,1,0), (0,2,-3).
- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.
- Son sistema generador de ℜ3 porque cualquier vector (a,b,c) se puede poner como combinación lineal de ellos. En efecto, dado (a,b,c),buscamos α,,γ que satisfagan β
(a,b,c)= α(1,0,0)+ (1,1,0)+γ(0,2,-3) β
Se obtiene un sistema:
α+= a β
β+2γ=b
-3γ = c
en las incógnitas α,,γ, que es compatible determinado para cualesquiera a,b,c. β
3. (1,2,3), (4,5,6), (7,8,9) en ℜ3 no forman base porque no son linealmente independientes (su determinante es nulo).
Neila Campos ÁLGEBRA LINEAL Espacios Vectoriales 21
4. Base de un subespacio
. En ℜ
3
,consideremos el subespacio S= plano XY. Veamos que los vectores (3,2,0) , (1,–1,0) forman una base de S. - Son linealmente independientes, porque uno no es múltiplo del otro. - Son un sistema generador de S: Dado un vector genérico de S, de la forma (a,b,0), lo podemos poner como combinación lineal de (3,2,0), (1,–1,0). Para ello, buscamos α, b que cumplan:

5. Extender un conjunto para que formebase. ¿Es (1,0,2), (1,0,–1) base de ℜ3?

- Son linealmente independientes, porque uno no es múltiplo del otro.
- Pero no son un sistema generador de ℜ3, porque no es cierto que todo vector de ℜ3 pueda ponerse como combinación lineal de ellos. Por ejemplo, el (0,1,0) no se puede poner (resulta un sistema incompatible).
Por tanto no son base de ℜ3. ¿Puede obtenerse una base de ℜ3 de algún modo?Sí, añadiendo algún otro vector de manera que siga siendo independiente de los anteriores, por ejemplo (0,1,0). Así el conjunto (1,0,2), (1,0,–1), (0,1,0) es linealmente independiente, y genera ℜ3, por tanto es base de ℜ3.
6. Reducir un conjunto para que forme base. ¿Es (2,0,0), (0,3,0), (4,1,0) base de S=plano XY de ℜ3 ?

- Son un sistema generador de S, pero no son independientes (sudeterminante es nulo).

S. C. D. para cualesquiera a,b.


Sí. Estos tres vectores tienen rango 2, por tanto uno de ellos es combinación lineal de los demás y puede suprimirse: por ejemplo suprimimos (4,1,0), ya que al quitarlo no baja el rango. (También podría quitarse cualquiera de los otros dos). Los restantes vectores (2,0,0), (0,3,0) siguen generando el mismo subespacio S y son independientes. Sonpor tanto base de
Por tanto no son base de S. ¿Puede obtenerse una base de S de algún modo?

5.- RANGO DE UNA MATRIZ
El rango de una matriz es el número máximo de columnas (filas respectivamente) que son linealmente independientes. El rango fila y el rango columna siempre son iguales: este número es llamado simplemente rango de A (prueba más abajo). Comúnmente se expresa como rg(A).
El número...