Algebra

ALGEBRA LINEAL. CONJUNTOS CONVEXOS.
1. Dependencia e independencia lineal. Base.
2. Sistemas de ecuaciones lineales. Soluciones.
3. Soluciones b´
asicas.
4. Conjuntos convexos.
5. Conjuntos convexos:definiciones.
6. Conjuntos convexos: teoremas.
7. Aplicaci´
on a la Programaci´
on Lineal.

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1 Dependencia e independencia lineal. Base.
Definici´
on 1 Dados v 1, v2 , . . . , vn , se llamacombinaci´
on
lineal de esos vectores a
α1 v1 + α 2 v2 + · · · + α n vn
siendo α1, . . . , αn ∈ R .
Definici´
on 2 Los vectores v1, v2 , . . . , vp ∈ R n son linealmente dependientes si existen α1 , . . . ,αp ∈ R no
todos nulos tales que
α1 v1 + α 2 v2 + · · · + α p vp = 0
Definici´
on 3 Dados v1, v2 , . . . , vp ∈ R n , si se verifica
α1 v1 + α 2 v2 + · · · + α p vp = 0 ⇒ α 1 = α 2 = · · · = α p = 0entonces, los vectores v1, v2 , . . . , vp son linealmente independientes.
Definici´
on 4 Un conjunto {v1 , v2, . . . , vp} ∈ R n es un
sistema generador si ∀y ∈ R n ∃α1, . . . , αp tal que

y = α 1 v1+ . . . + α p vp

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Definici´
on 5 Una base de un espacio vectorial es un
conjunto de vectores {v1 , . . . , vp } que verifica
a) Son linealmente independientes.
b) Son un sistema generador.Definici´
on 6 La dimensi´
on de un espacio vectorial es
el n´
umero de vectores de una base.
Observaci´
on: Todas las bases de un espacio vectorial
tienen el mismo n´
umero de vectores.

Teorema 1Cualquier vector de un espacio vectorial se
puede escribir como combinaci´
on lineal de los vectores
de una base, siendo esa combinaci´
on lineal u
´nica.

Teorema 2 Dada una base B del espacio vectorial Rn
y un vector v ∈ R n que no est´
a en B, v = 0, siempre
es posible conseguir otra base sustituyendo alg´
un vector
de B por el vector v.

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2. Sistemas de ecuaciones lineales. Soluciones.
Dada A ∈ Rm×n , rang A = n´
umero filas lin. ind..
Sea Ax = b,

A ∈ R m×n.

1. Si rang A = rang [A b] → sistema incompatible.
2. Si rang A = rang [A b] → sistema compatible.
• Si rang A = rang [A b] = n´...