Algebra

CAPITULO 1
NOCIONES ELEMENTALES DE LOGICA MATEMATICA

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Lógica matemática fue el nombre dado por Giuseppe Peano
para esta disciplina. En esencia, es la lógica de Aristóteles, pero desde el punto de vista de una nueva notación, más abstracta, tomada del álgebra.

Previamente ya se hicieron algunos intentos de tratar las operaciones lógicas formales de una manera simbólica por parte dealgunos filósofos matemáticos como Leibniz y Lambert, pero su labor permaneció desconocida y aislada.

Fueron George Boole y Augustus De Morgan, a mediados del siglo XIX, quienes primero presentaron un sistema matemático para modelar operaciones lógicas. La lógica tradicional aristotélica fue reformada y completada, obteniendo un instrumento apropiado para investigar sobre los fundamentos de lamatemática.

El tradicional desarrollo de la lógica enfatizaba su centro de interés en la forma de argumentar, mientras que la actual lógica matemática lo centra en un estudio combinatorio de los contenidos. Esto se aplica tanto a un nivel sintáctico (por ejemplo, el envío de una cadena de símbolos perteneciente a un lenguaje formal a un programa compilador que lo convierte en una secuencia deinstrucciones ejecutables por una máquina), como a un nivel semántico, construyendo modelos apropiados (teoría de modelos). La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación.

Estudiaremos brevemente un lenguaje no contradictorio ni ambivalente que nospermitirá introducirnos a la Matemática: la Lógica Matemática, que estudia las leyes que regulan el razonamiento. Por fines didácticos la dividimos en: a) lógica proposicional, b) lógica funcional.

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1.1.

LOGICA PROPOSICIONAL consideraremos dos elementos básicos:

En la lógica proposicional Proposiciones, Conectivos.

1.1.1. Proposiciones Son “frases” sobre las cuales podemos decidir,unívocamente, sobre la verdad (V ) o falsedad (F) de ellas. Así entonces, una proposición es una frase que es V o F, no existiendo la posibilidad de obtener ambas decisiones conjuntamente (Principio del tercero excluido). Las proposiciones las denotamos por letras minúsculas p, q, r, etc., que resumirán, en si mismo, el significado particular que tengan al interior de una situación concreta.

Ejemplo1.1.1. 1. “p” resumirá, al interior de este ejemplo, a la proposición: “Hoy es Martes 10 de Mayo”, y denotamos p: “Hoy es Martes 10 de Mayo”.

2. Las siguientes “frases” son proposiciones: : : 4 9 y ú 5 (es V) , (es V)

Observación 1.1.1. No son proposiciones los interrogativos y los imperativos.

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1.1.2. Conectivos Símbolos que, junto con las proposiciones básicas, nos permiten crearnuevas proposiciones, así por ejemplo, son: ~: se lee no, : se lee “y”, : se lee “o”, :se lee “…. \si,….. entonces,……”. : se lee “…… sí y sólo si……". Observación 1.1.2.
El conectivo “ ” se usa antes de una proposición, y los restantes conectivos se usan entre dos proposiciones. Ejemplo 1.1.2. Si p, q, r son proposiciones, entonces también son proposiciones: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

~

1.1.3.Tablas de Verdad Las proposiciones compuestas, es decir, aquellas que contienen al menos un conectivo, tienen, naturalmente, un valor veritativo, y para las proposiciones compuestas básicas ese valor veritativo lo damos en las siguientes “tablas de verdad”

Tabla de Verdad de la Negación Dada la proposición básica “p”, existe la negación de ella, denotada “no p”, proposición que tiene la siguientetabla de verdad. p V F p F V

p, que se lee

Observación 1.1.3. Es claro que el valor veritativo de p es el contrario de p. Por ejemplo, si “p” es p:”Hoy llueve", es verdadero, entonces p es p:”Hoy no llueve”, es falso

Tabla de Verdad de la Conjunción ( ) Dadas las proposiciones “p”, “q”, existe la conjunción de ellas, denotada p ^ q, que se lee “p y q”, proposición tal que su tabla de...