Algebradematrices

´
Matrices. Algebra
de matrices.

1.

Definiciones generales

Definici´
on 1.1 Si m y n son dos n´
umeros naturales, se llama matriz de
´meros reales de orden m × n a una aplicaci´
nu
on
A : {1, 2, 3, . . . , m} × {1, 2, 3, . . . , n} −→ R
tal que A(i, j) = aij ∈ R ∀ i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n. La matriz A se
representa dando ordenadamente la imagen de todos los elementos delconjunto
inicial:


a11 a12 a13 . . . a1n
 a21 a22 a23 . . . a2n 




A =  a31 a32 a33 . . . a3n 
 ..
..
..
.. 
 .
.
.
. 
am1

am2

am3

...

amn

Los subconjuntos horizontales de A se llaman filas de A y los subconjuntos
verticales de A son las columnas de A.
Por tanto la matriz A ser´ıa una matriz de m filas y n columnas. Por la propia
definici´
on de A, el elemento aij es el n´
umeroreal que ocupa la fila i y la columna
j.
Definici´
on 1.2 Dos matrices A y B de orden m × n se dicen iguales cuando
lo son los elementos que ocupan el mismo lugar, es decir, aij = bij ∀ i, j.
Definici´
on 1.3 Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo n´
umero de
filas que de columnas. Una matriz es una matriz fila si es de orden 1 × n.
Una matriz es una matriz columna si es de orden m × 1.
4

8−2 0 −1 es una matriz fila de orden 1 × 5
 
8
−2 es una matriz columna de orden 3 × 1
0

Definici´
on 1.4 Dada una matriz cuadrada A se define la diagonal principal
de A como el conjunto {a11 , a22 , a33 , . . . , ann }. Una matriz cuadrada es matriz
triangular superior si los elementos situados debajo de la diagonal principal
son todos cero, es decir si aij = 0 ∀ i > j. Una matriz cuadrada esmatriz
triangular inferior si los elementos situados encima de la diagonal principal
son todos cero, es decir si aij = 0 ∀ i < j. Una matriz cuadrada es una matriz
diagonal si es a la vez triangular superior y triangular inferior.

1

´
Algebra
de Matrices

IES Montevives. Dpto. de Matem´
aticas



2 8
8
0 −3 1  es una matriz triangular superior
0 0 −5


6
0
0 0
−1 −3 0 0

 es una matriztriangular inferior
1
1 −5 0
3
4
3 7
Definici´
on 1.5 Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que todos
los elementos de la diagonal principal son iguales. La matriz unidad o matriz
identidad es la matriz escalar con unos en su diagonal principal. La matriz
cero es la matriz escalar con ceros en su diagonal principal.

1
0

I5 = 
0
0
0

0
1
0
0
0

0
0
1
0
0

0
0
0
1
0


0
0

0 es la matriz unidad de orden 5
0
1

Definici´
on 1.6 Si A es una matriz de orden m × n se define la matriz traspuesta de A, y se nota como At , como aquella matriz que tiene por filas las columnas de A y por columnas las filas de A. As´ı si A = (aij ) entonces At = (aji ),
y esta matriz traspuesta es de orden n × m.



1
2
−1


T
1
2 0 8
2
0 0 3  =
0
0 8 −3
8


2 −1
0 0

0 8
3 −3´trica si A = At ,
Definici´
on 1.7 Una matriz cuadrada A es una matriz sime
´trica o hemisime
´trica cuando A = −At .
y es una matriz antisime

−1
7
3

2.


7 3
6 2 es una matriz sim´etrica
2 0

Operaciones con matrices

Vamos a estudiar en este apartado las operaciones que podemos realizar
con matrices. Para ello vamos a notar como Mm×n al conjunto de matrices de
n´
umeros reales de orden m ×n.

2.1.

Suma de matrices

Definici´
on 2.1 Sean A = (aij ) y B = (bij ) dos matrices de orden m × n. Se
define la suma de A y B como otra matriz C = (cij ) de orden m × n tal que
cij = aij + bij ∀ i, j.

2

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Algebra
de Matrices

IES Montevives. Dpto. de Matem´
aticas

Notemos que para poder sumar dos matrices ambas deben ser del mismo orden:

 
 

1 −2 0
0 3 −7
1 1 −7
−3 8
4  +  1 1 −9= −2 9 −5
5
5 −6
−4 4 0
1 9 −6
Las propiedades de la suma de matrices son:
I) Propiedad asociativa: Si A, B, C ∈ Mm×n
(A + B) + C = A + (B + C)
II) Propiedad conmutativa: Si A, B ∈ Mm×n
A+B =B+A
III) Existencia de elemento neutro: el elemento neutro de Mm×n es la
matriz nula: aij = 0 ∀ i, j
IV) Existencia de elemento opuesto: dada la matriz A = (aij ) ∈ Mm×n ,
su matriz opuesta es la...