algebral lineal ecuaciones lineales en dos variables

ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES
 

 
Las definiciones, conceptos e ideas que se discutirán en esta sección son conocidas en cursos tomados anteriormente.  De manera que el propósito será un repaso de  las mismas.
 
Definición:  Una ecuación de la forma ax+ by = c donde a, b y c son constantes con a diferente de cero, b diferente de cero, x, y variables se conoce como una ecuaciónlineal en dos variables de forma general. 
Ejemplos:  2x + y = 4;  3x - 4y = 9.
 
Las ecuaciones y = -3x + 5  y  y = -2x  son ecuaciones lineales en dos variables pero no están expresadas de la forma general.  Lo podemos lograr cambiando de lugar los términos correspondientes.  De manera que:
y = -3x + 5  en la forma general es 3x + y = 5
y = -2x  en la forma general es 2x + y = 0
 
El conjuntosolución de una ecuación lineal en dos variables es el conjunto de pares que hace la ecuación cierta.  Por ejemplo: ¿cuál de los siguientes pares ordenados (5,1)  y  (8,3) es solución de la ecuación 3x - 4y = 12?  La respuesta a esta pregunta la podemos hallar  sustituyendo los valores de las coordenadas x y y en la ecuación dada.  Veamos:
 
1)  Si  3x - 4y = 12  entonces 3(5) - 4(1) = 15 - 5 =10.  Por tanto, el par ordenado (5, 1) no es solución de la ecuación 3x - 4y = 12.
 
2)  Si 3x - 4y = 12 entonces 3(8) - 4(3) = 24 - 12 = 12.  Por tanto, el par odenado (8, 3) es solución de la ecuación 3x - 4y = 12.
 
 
Gráfica de ecuaciones lineales en dos variables
 
Las gráficas de las ecuaciones lineales son líneas rectas.  Una forma de construir gráfica de líneas recta es a través deinterceptos.
 
La coordenada x del punto donde interseca la gráfica de la ecuación en el eje de x se llama intercepto en x.  Para hallarlo se le asigna a y el valor de cero.  El intercepto en x se expresa de la forma (x, 0).
 
La coordenada y del punto donde interseca la gráfica de la ecuación en el eje de y se llama intercepto en y.  Para hallarlo se le asigna a x el valor de cero.  Elintercepto en y se expresa de la forma (0, y).
 
Ejemplos para discusión en clase:  Construye la gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones usando interceptos.
 
1)  x - y = 3
2)  2x + 3y = 6
 
Ejercicio de práctica:  Construye la gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones usando interceptos:
 
1)  3x + 5y = 15
2)  3x - 4y = 12
 
Pendiente de una recta
 
Es el grado (medida)de inclinación de una recta, la razón de cambio en y con respecto al cambio en x.
 
Si una recta pasa por dos puntos distintos (x1, y1) y (x2, y2), entonces su pendiente (m) está dada por:

Esto es,

 
Ejemplo para discusión en clase: Dibuja la recta que pasa por los puntos dados y halla la pendiente para cada caso.
 
1)  (-3,4) y (6, -2)
2)  (-3, -4) y (3, 2)
3)  (-4, 2) y ( 3, 2)4)  (2, 4) y (2, -3)
 
Con los ejemplos discutidos podemos observar la interpretación geométrica de la pendiente de una recta:
 
Pendiente
Tipo de recta
positiva
recta ascendente
negativa
recta descendente
cero
recta horizontal
no definida
recta vertical
 
Ejercicio de práctica:  Halla la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos.
 
1)  (-3 , -3) y (2, -3)
2)  (0, 4) y (2,-4)
3)  (-2, -1) y (1, 2)
4)  (-3, 2) y (-3, -1)
 
Ecuaciones de la forma pendiente-intercepto
 
Ecuaciones de la forma y = mx + b donde m representa la pendiente y b el intercepto en y se conocen como ecuaciones de la forma pendiente-intercepto. 
 
Por ejemplo,  la ecuación y = -3x + 5 está expresada de la forma pendiente-intercepto donde la pendiente (m) es -3  y el intercepto en y es(0, 5).
 
La ecuación x + y = 2 no está expresada de la forma pendiente-intercepto.  Pero lo podemos hacer cmabiando términos de posición, esto es, y = -x + 2.  Donde la pendiente (m) es -1 y el intercepto en y es (0, 2).
 
Nota:  Una ecuación de la forma y = mx representa una recta que pasa por el origen.  Por ejemplo, y = 3x representa la ecuación de una recta ascendente que pasa por el...