AlgebraLineal

Gabriela Jeronimo, Juan Sabia y Susana Tesauri

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Algebra
lineal

Buenos Aires, agosto de 2008

Prefacio
El ´algebra lineal es una herramienta b´asica para casi todas las ramas de la matem´atica as´ı
como para disciplinas afines tales como la f´ısica, la ingenier´ıa y la computaci´on, entre otras.
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Estas notas, basadas en la materia Algebra
Lineal destinada a alumnos de la Licenciatura enCiencias Matem´aticas y del Profesorado en Matem´aticas de la Facultad de Ciencias Exactas
y Naturales de la Universidad de Buenos Aires, que hemos dictado varias veces, pretenden,
entre tantos buenos textos de ´algebra lineal existentes, ser s´olo una introducci´on b´asica al
tema que se ajusta a los contenidos curriculares del curso y, al mismo tiempo, una gu´ıa de
estudios para los alumnos.
Lasnotas no presuponen ning´
un conocimiento previo de ´algebra lineal, aunque s´ı de algunas propiedades b´asicas de polinomios a coeficientes en un cuerpo y de n´
umeros complejos,
y en algunos ejercicios se utilizan estructuras que provienen de la aritm´etica elemental. Se
comienza con las definiciones b´asicas de estructuras algebraicas necesarias para definir la
noci´on de espacio vectorial, paraseguir con la noci´on de subespacio, sistema de generadores
e independencia lineal. Despu´es de dar una breve introducci´on al tema de las matrices a
coeficientes en un cuerpo, se definen y estudian las transformaciones lineales, el espacio dual
y la teor´ıa de determinantes. La diagonalizaci´on de matrices y la forma de Jordan de automorfismos en espacios de dimensi´on finita se desarrollan acontinuaci´on, seguidas del estudio
de espacios con producto interno reales y complejos. El cap´ıtulo de variedades lineales puede
verse como una aplicaci´on del ´algebra lineal a la geometr´ıa af´ın. Finalmente, se da una breve
introducci´on a la teor´ıa de formas bilineales.

Gabriela Jeronimo, Juan Sabia y Susana Tesauri

iv

´Indice General
1 Espacios vectoriales
1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1Espacios vectoriales y subespacios

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Preliminares

1.1.2

Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3

Subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.4

Sistemas de generadores . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1

Sistemas lineales homog´eneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.2

M´etodo de triangulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.3

Cantidad de soluciones de un sistema homog´eneo . . . . . . . . . . . . . 171.2.4

Sistemas lineales no homog´eneos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Independencia lineal y bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.1

Independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.2

Bases y dimensi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Suma de subespacios . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.1

Subespacio suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.4.2

Suma directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2 Matrices

47

2.1

Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 47

2.2

Matrices inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.3

Matrices elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4

Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4.1

Coordenadas de un vector en una base . . . . . . . . . . . . . . . . ....