Algebramatricial

1
1.1
1.1.1

¶
ALGEBRA
MATRICIAL
De¯niciones basicas
Matriz

Una matriz de orden, o de dimensi¶
on, M por N (escrita como M £ N ) es un
conjunto de M £ N elementos ordenados en M ¯las y N columnas. Por tanto,
una matriz A de (M £ N) puede expresarse como

A

M£N

2

a11
6 a21
= [aij ] = 6
4 :::
aM1

a12
a22
:::
aM2

a13
a23
:::
aM3

3
::: a1N
::: a2N 7
7
:::
::: 5
::: aMN

donde aij es elelemento que aparece en la i¶esima ¯la y la j¶esima columna
de A, y donde [aij ] es una expresi¶
on abreviada para la matriz A cuyo elemento
¶
caracteristico es aij :
1.1.2

Vector columna

Una matriz que consta de M ¯las y s¶
olo una columna se denomina vector
columna.

x

4£1

1.1.3

2

3
6
6 3 7
7
=6
4 4 5
8

Vector ¯la

Una matriz que consta de s¶olo una ¯la y N columnas se denomina vector ¯la.
x1£4

=

£

8 5 4 6

1

¤

1.2

Tipos de matrices: Ejemplos

² Matriz cuadrada
A =

2£2

5 3
7 2

¸

8 0
0 5

¸

2

3
8 3 2
B =4 6 9 5 5
3£3
8 7 4

² Matriz diagonal
A =

2£2

² Matriz identidad o unitaria
A =

2£2

² Matriz escalar

1 0
0 1

2

3
5 0 0
B = 4 0 6 0 5
3£3
0 0 3

2

3
1 0 0
B = 4 0 1 0 5
3£3
0 0 1

¸

3
2
3
2 0 0
1 0 0
A =4 0 2 0 5=2£4 0 1 0 5
3£3
0 0 2
0 0 1

² Matriz sim¶etrica

22

3
2 1 7
A =4 1 2 3 5= A0
3£3
3£3
7 3 2

² Matriz idempotente
A = A2 = A3 = A4 = :::

2

1.3
1.3.1

Operaciones matriciales
Adici¶
on y substracci¶
on de matrices

Si A y B son del mismo orden, se de¯na la adici¶
on de matrices como
A+B =C
donde C es del mismo orden que A y B.
A =

2£4

2 3 4 5
6 7 8 9

¸

B =

2£4

¸

1 0 ¡1 3
¡2 0 1 5

C =

2£4

3 3 3 8
4 7 9 14

La substracci¶on de matricessigue el mismo principio que la adici¶
on de matrices, excepto que C = A ¡ B, siempre y cuando A y B sean del mismo orden.
1.3.2

Multiplicaci¶
on de matrices

A =

2£3

3 4 7
5 6 1

2

3
2 1
B = 4 3 5 5
3£2
6 2

¸

Regla :

A

C =

2£2

B =

(m£p)(p£b)

60 37
34 37

¸

C

(m£b)

Propriedades de la multiplicaci¶
on de matrices:
1) La multiplicaci¶on de matrices no necesariamente es commutativa:
AB6= BA
AB signi¯ca que A es postmultiplicada por B o B es premultiplicada por A.Aun
si AB y BA existen, las matrices resultantes pueden no ser del mismo orden!
2) Un vector ¯la postmultiplicado por un vector columna es un escalar.

u
^¶^
u=

£

u
^1

u
^2

u
^3

3

::: u
^n

2

6
¤ 6
6
6
4

u
^1
u
^2
u
^3
:::
u
^n

3
7
7
7
7
5

¸

=u
^21 + u
^22 + u
^23 + ::: + u
^2n
=

X

u
^2i es un escalar

3)Un vector columna postmultiplicado por un vector ¯la es una matriz.
2

6
6
uu = 6
6
4
0

u1
u2
u3
:::
un

3

7
7 £
7
u1
7
5

2

u21
6 u2 u1
= 6
4 :::
un u1

u1 u2
u22
:::
un u2

u2

u3

u1 u3
u2 u3
:::
un u3

::: un

¤

3
::: u1 un
::: u2 un 7
7
:::
::: 5
::: u2n

= es una matriz sim¶
etrica de orden n £ n:
4) Una matriz postmultiplicada por un vector culumna es un vector columna.
5) Un vector ¯lapostmultiplicado por una matriz es un vector ¯la.
6) La multiplicaci¶on de matrices es asociativa, es decir
(A B) C = A

M£N N£P P £K

(B C)

M£N N£P P £K

7) La multiplicaci¶on de matrices es distributiva con respecto a la suma
A(B + C) = AB + AC

y

4

(B + C)A = BA + CA

1.3.3

Transposici¶
on de matrices
2

3
8 3
A = 4 6 9 5
3£2
8 7

A0 =

2£3

8 6 8
3 9 7

¸

Propriedades de latransposici¶
on de matrices:
1) La transposici¶on de una matriz transpuesta es la misma matriz original
(A0 )0 = A
2) C = A + B

C 0 = (A + B)0 = A0 + B 0

3) Si AB es de¯nido, (AB)0 = B 0 A0
4) La transpuesta de un matriz identidad es la matriz identidad misma
5) Si A es una matriz cuadrada tal que A = A0 ; entonces A es una matriz
sim¶etrica.
6) La transpuesta de un escalar es el escalar mismo. Por tanto, si¸ es un
escalar
¸0 = ¸
7) La transpuesta de (¸A)0 es ¸A0 ; donde ¸ es un escalar.

5

1.4
1.4.1

Determinantes
Evaluaci¶
on de un determinante de 2 £ 2
A =

1.4.2

a11
a21

a12
a22

¸

jAj = a11 a22 ¡ a12 a21

Evaluaci¶
on de un determinante de 3 £ 3
2

a11
A = 4 a21
a31

a12
a22
a32

3
a13
a23 5
a33

jAj = a11 a22 a33 ¡ a11 a23 a32 + a12 a23 a31 ¡ a12 a21 a33 + a13 a21 a32 ¡ a13 a22 a31...