Algebras de Lie

INTRODUCCIÓN
En el presente trabajo se abordan y analizan las álgebras de Lie, abriendo por este medio una ventana hacia el genial trabajo del matemático Sophus Lie. Aunque vale la pena aclarar que los conceptos que aquí se estudiarán no son en ninguna medida obvios, razón por la cual el análisis de dicha teoría genera un tanto de inquietud en el lector dado que requiere estudios previos sobreálgebra abstracta.
La aportación de Sophus Lie a las matemáticas requiere un esfuerzo para poder entenderla, por su complejidad y la novedad que encierra en su interior. Aun sigue siendo una teoría de vanguardia y visionaria, por la gran extensión de aplicaciones que tiene en las diferentes ramas de la ciencia contemporánea.
Esta teoría se centra fundamentalmente en el campo del álgebraabstracta, rama a la que Lie dió un impulso casi definitivo. En matemática, los grandes progresos siempre han estado ligados a progresos en la capacidad de escalar un poco más en el campo de la abstracción. En particular, para darnos una idea de la importancia que tiene la teoría de las algebras de Lie, basta recordar lo que Albert Einstein llegó a afirmar: “sin sus descubrimientos no habría sido posibleel nacimiento de la Teoría de la Relatividad”. Por otro lado, este trabajo no ambiciona ser una biografía de este matemático, eso ya sería tema para historiadores. Lo que realmente se pretende, es presentar un trabajo sobre su obra relacionado a las álgebras, de manera que se alcance una mayor comprensión sobre ésta temática, a la vez que sea utilizado como una herramienta de estudio.
Por otrolado, no debemos olvidar que una característica distintiva de la matemática es su gran unidad, es decir, es imposible hablar de áreas que evolucionen de manera aislada, o como lo dice David Hilbert: "La matemática es en mi opinión un todo indivisible, un organismo cuya vitalidad está condicionada por la conexión de sus partes…". Por lo tanto, el desarrollo de una área necesariamente marca su impactoen las otras y todas se retroalimentan entre sí. En particular, el álgebra no es ajena a esta tendencia y a lo largo de su desarrollo es posible observar su influencia en otras ramas de la matemática y como se ha visto beneficiada por los desarrollos de éstas. Sin embargo, a pesar que sería muy fructífero asomarnos un poco a este proceso, no es posible revisar en su totalidad en este documentoesas conexiones del álgebra con otras áreas y sólo le pedimos al lector tener en cuenta que el álgebra no ha evolucionado de forma aislada y es posible notar su presencia en toda la matemática.












NOTA HISTÓRICA
En su época, Sophus Lie era considerado por casi todos como el arquetipo de personaje de un drama teatral, el prototipo de rubio nórdico. Era conocido en toda Europacomo el gran gigante germano, una fuerza primordial, un titán lleno de ansias de vivir con objetivos audaces y una fuerza de voluntad indomable. Era descrito como altamente comprometido e innovador, alguien con la resistencia necesaria para superar la mayoría de los obstáculos. Es de destacar que Lie es considerado uno de los matemáticos más prolíficos que han existido. De hecho, el volumen de suspublicaciones es comparable incluso al de los propios Euler y Gauss, por ejemplo.
En el año de 1873, Sophus Lie dio origen a las ideas que conformaron, la hoy denominada teoría de Lie, con aportes posteriores de Weyl, Cartan, Chevalley, Killing, Serre, Harishchandra y otros. En los primeros trabajos de Lie, la idea subyacente era construir una teoría de “grupos continuos”, que complementara la yaexistente teoría de grupos discretos. La aplicación inicial que Lie tenía en mente era en ecuaciones diferenciales. El objetivo era desarrollar una teoría capaz de unificar el estudio de las simetrías en el área de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Si bien continúo su desarrollo en otra dirección, la teoría de Lie juega un papel fundamental en el álgebra contemporánea.
Lie observó que...