algebras y funciones

Álgebra y funciones
CONTENIDOS CURRICULARES:
  Raíces cuadradas y cúbicas – Propiedades de las raíces - Operatoria con raíces – Racionalización - Ecuaciones irracionales - Ecuación cuadrática - planteo de problemas con ecuación cuadrática - Naturaleza de las soluciones de una ecuación cuadrática - Propiedades de las soluciones de la ecuación cuadrática - Función cuadrática - Función raízcuadrada
 
  Raíces cuadradas y cúbicas
 
Comencemos el estudio de las raíces, haciéndonos la siguiente pregunta: Si el área de un cuadrado es 15 cm2, ¿cuál es su área?
 
Para responder a esto, debemos encontrar un número cuyo cuadrado es 15, este número se denomina raíz cuadrada de 15 y es aproximadamente 3,8729.
Si generalizamos lo anterior podemos afirmar que:.
 
Si a es un númeropositivo, entonces b es positivo; por lo tanto  y no ±3 como erróneamente se cree. Por otro lado, la igualdad:  se cumple solo si x>0, ya que si tenemos  esto no es igual a  –3, ya que sería contradictorio con lo anterior. Por lo tanto, la propiedad es: (para cualquier valor real de x).
 
Si en la raíz:  , a es negativo, entonces la raíz no es un número real. Si la raíz es cúbica, tenemos que: .
 En este caso, si a es negativo, b resulta ser negativo y si a es positivo, b también; por lo tanto, la raíz cúbica está definida para todo número real.
 
En general, las raíces se pueden definir mediante una potencia de exponente fraccionario:
 
Definición: 
, donde n se denomina el índice de la raíz; como vimos anteriormente, cuando este no aparece se entiende que es dos (raíz cuadrada).
Ladefinición está sujeta a las restricciones que vimos en el párrafo anterior: es decir, las raíces de índice par están definidas para números no negativos y las de índice impar están definidas para todo número real.
 
Debido a que las raíces pueden convertirse a potencias de exponente fraccionario, cumplen con todas las propiedades de potencias que estudiamos en el módulo anterior; de estas sepueden deducir las siguientes propiedades de raíces:
 
 
Propiedades de las raíces
 
1) Multiplicación de raíces de igual índice:
 
 
 
2) División de raíces de igual índice:
 
 
 
3) Raíz de raíz:
 
 
 
4) Raíz de una potencia cuyo exponente es igual al índice:
 
 
 
5) Propiedad de amplificación:
 
 
 
6) Ingreso de un factor dentro de una raíz:
 
 (con la restricciónque a>0 si n es par) 
 
Observación: las propiedades anteriores son válidas solamente en el caso de que las raíces estén definidas en los números reales.
 
Veamos a continuación la demostración de algunas de las propiedades, para que veas su analogía con las propiedades de las potencias:
 
Demostración de (1):
 
 
 
Demostración de (5):
 
 
 
Demostración de (6):
 
 
 
  Operatoria con raíces
 
Adición y sustracción de raíces semejantes
 
Se llaman raíces semejantes aquellas que tienen la misma cantidad subradical. Por ejemplo,  son raíces semejantes y se pueden sumar y/o restar:
En el caso de querer sumar o restar raíces no semejantes, se debe descomponer las cantidades subradicales para convertirlas a raíces semejantes.
 
Ejemplo:
 
 
 
Descomponiendolas cantidades subradicales en forma conveniente:
 
 
Multiplicación y división de raíces de igual índice
 
En este caso aplicamos las propiedades 1 y 2 de las raíces.
 
Ejemplo:
 

 
Descomponiendo las cantidades subradicales:
 
Multiplicación y división de raíces de distinto índice.
 
En este caso es conveniente utilizar la propiedad de amplificación para igualar índices.
 Ejemplo:
 

 
El m.c.m. de los índices es seis, entonces amplificamos para igualar los índices a seis:
 
 
 
 
 
Racionalización
 
La racionalización consiste en eliminar las raíces que se encuentran en el denominador  de una fracción.
 
Analizaremos a continuación los casos más importantes:
 
Caso 1: una raíz cuadrada en el denominador, sin adiciones ni sustracciones.
 
Ejemplo:...