algebre

Una función cuadrática es toda función que pueda escribirse de la forma f(x) = a x2 + b x + c, donde a, b y c son números cualesquiera, con la condición de que a sea distinto de 0 .
Las funciones f(x) = x2 + 6x,  g(x) = x2  + 16  y   G(x) = - 100 x2 + 2500 x + 15000
Que se corresponden con las tres primeras actividades, son ejemplos de funciones cuadráticas.
Gráfica de las funciones cuadráticasLa función cuadrática más sencilla es f(x) = x2 cuya gráfica es:
x
-3
-2
-1
-0'5
0
0'5
1
2
3
f(x) = x2
9
4
1
0'25
0
0'25
1
4
9
Esta curva simétrica se llama parábola.
Funciones cuadráticas más complejas se dibujan de la misma forma.
Dibujemos la gráfica de f(x) =  x2  -2 x - 3.
x
-1
0
1
2
3
4
f(x)
0
-3
-4
-3
0
5










Una función cuadrática es un polinomio de grado 2, es decir, el exponentemás alto en la variable es 2. Los siguientes son ejemplos de funciones cuadráticas:
 



 
La función cuadrática más básica y simple tiene la ecuación . Si hacemos una tabla con los valores de esta función, vemos que el rango (los valores de y, o salida) no se comportan como una función lineal. En una función lineal, el valor de y cambia por la misma cantidad cada vez que el valor de x aumenta por 1.Eso no sucede con una función cuadrática:
 
x
y = x2
-3
9
-2
4
-1
1
0
0
1
1
2
4
3
9

Los valores de y no cambian por una cantidad constante. Grafiquemos algunos puntos para ver cómo se vería la función:

 
 
Después de graficar algunos puntos, podría ser tentador conectar los puntos con segmentos de línea, que son rectos. Pero esto estaría mal, y produciría un patrón que no representa lafunción.
 
Borremos esas líneas rectas y grafiquemos el resto de los puntos:
 

 
 
Ahora dibujamos una curva suave conectando los puntos.
 

 
 
¡Mejor! Una función cuadrática resulta en una gráfica con forma de U, llamada parábola. Los valores de la función cambian suavemente, por lo que la curva debe ser suave también. Ahora que podemos ver la naturaleza de la parábola (forma de U), veamos su forma endetalle.
 
Nota:  Cualquier ecuación cuadrática puede resolverse utilizando la fórmula cuadrática.
 
Factorización:
 
Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero.  Luego expresar el lado de la ecuación que no es cero como un producto defactores.  Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable.
 Ejemplos para discusión en clase:  Resuelve las siguientes ecuaciones por factorización:
 
1)  x2 - 4x = 0
2)  x2 - 4x = 12
3)  12x2 - 17x + 6 = 0
 
Nota:  No podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización porque este método está limitado a coeficientes enteros.  Por esotenemos que conocer otros métodos.


Práctica:  Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones:
1)  x2 + 8x + 6 = 0
2)  9x2 + 6x + 1 = 0
3)  5x2 - 4x + 1 = 0
 1)  x2 - x - 20 = 0    (por factorización)
2)  x2 - 8 = 0           (por raíz cuadrada)
3)  x2 - 4x + 5 = 0   (completando el cuadrado)
4)  9x2 + 6x = 1      (fórmula cuadrática)

Fórmula cuadrática:
 
La solución de una ecuación ax2 + bx + c con a diferente de cero está dada por la fórmula cuadrática:

La expresión:


Solución de Ecuaciones Cuadráticas por Factorización
 
Objetivo de Aprendizaje         Resolver ecuaciones cuadráticas usando técnicas de factorización y expresar la solución como un conjunto.
 
Introducción
 
Cuando un polinomio es igual a cierto valor (ya sea un entero u otro polinomio), el resultado es una ecuación. Una ecuación que puede ser escrita de la forma ax2 + bx + c = 0 se llama ecuación cuadrática. Podemos resolver estas ecuaciones cuadráticas usando las reglas del álgebra,aplicando técnicas de factorización donde sea necesario, y usando la Propiedad Cero de la Multiplicación.
 
La Propiedad Cero de la Multiplicación
 
La Propiedad Cero de la Multiplicación establece (¡en términos algebraicos, por supuesto!) algo que todos siempre hemos sabido: si el producto de dos números es 0, entonces por lo menos uno de los factores es 0.
 
Propiedad Cero...