algebrec02

Álgebra Recreativa

Yakov Perelman

CAPITULO SEGUNDO
EL IDIOMA DEL ÁLGEBRA

Contenido:
1. El arte de plantear ecuaciones
2. La vida de Diofanto
3. El caballo y el mulo
4. Los cuatro hermanos
5. Las aves de la orilla
6. El paseo
7. El artel de segadores
8. Las vacas en el prado
9. El problema de Newton
10. El cambio de las manecillas del reloj
11. Coincidencia de las saetas
12. El arte de adivinarnúmeros
13. Un supuesto absurdo
14. La ecuación piensa por nosotros
15. Curiosidades y sorpresas
16. En la peluquería
17. El tranvía y el peatón
18. El barco y la balsa
19. Dos botes de café
20. Velada
21. Exploración marina
22. En el velódromo
23. Carrera de motocicletas
24. Velocidad media
25. Máquinas de cálculo rápido
1. El arte de plantear ecuaciones
El idioma del álgebra es la ecuación."Para resolver un problema referente a números o
relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema, del inglés u otra
lengua al idioma algebraico», escribió el gran Newton en su manual de álgebra titulado
Aritmética Universal. Isaac Newton mostró con ejemplos cómo debía efectuarse la
traducción. He aquí uno de ellos:
En la lengua vernácula:
En el idioma del álgebra:
Un comerciante tenía una determinada suma
x
de dinero
El primer año se gastó 100 libras
x -100
(x − 100 ) 4 x − 400
(x − 100 ) +
=
Aumentó el resto con un tercio de éste
3
3
4x − 400
4 x − 700
− 100 =
Al año siguiente volvió a gastar 100 libras
3
3
4x − 700
4x − 700 16 x − 2.800
y aumentó la suma restante en un tercio de
+
=
ella
3
9
9
16 x − 2800
16 x − 3700
− 100 =
El tercer año gastó de nuevo 100 libras
99

Capítulo 2

1

Preparado por Patricio Barros

Álgebra Recreativa

Yakov Perelman

16 x − 3700 16 x − 3700 64 x − 14800
+
=
9
27
27
64 x − 14800
= 2x
27

Después de que hubo agregado su tercera
parte
el capital llegó al doble del inicial

Para determinar cuál es el capital inicial del comerciante no queda más que resolver la
última ecuación.
La solución de una ecuación es, con frecuencia, tareafácil; en cambio, plantear la ecuación
a base de los datos de un problema suele ser más difícil. Hemos visto que el arte de plantear
ecuaciones consiste, efectivamente, en traducir "la lengua vernáculo a la algebraica". Pero el
idioma del álgebra es lacónico en extremo, por eso no todos los giros del idioma materno
son de fácil traducción. Las traducciones pueden ser muy distintas por el grado desu
dificultad, como puede convencerse el lector a la vista de los ejemplos de ecuación de
primer grado expuestos.
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2. La vida de Diofanto
Problema
La historia ha conservado pocos rasgos biográficos de Diofanto, notable matemático de la
antigüedad. Todo lo que se conoce acerca de él ha sido tomado de la dedicatoria que figura
en su sepulcro, inscripción compuesta en forma de ejerciciomatemático. Reproducimos esta
inscripción:

En la lengua vernácula
En el idioma del álgebra:
¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos
de Diofanto. Y los números pueden mostrar,
x
¡oh, milagro!, cuán larga fue su vida,
cuya sexta parte constituyó su hermosa
x/6
infancia.
Había transcurrido además una duodécima
parte de su vida, cuando de vello cubrióse su
x/12
barbilla
Y la séptima parte de suexistencia transcurrió
x/7
en un matrimonio estéril.
Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el
5
nacimiento de su precioso primogénito,
que entregó su cuerpo, su hermosa existencia,
a la tierra, que duró tan sólo la mitad de la de
x/2
su padre
Y con profunda pena descendió a la sepultura,
x x x
x
x = + + +5 + + 4
habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de
6 12 7
2
su hijo
Dime cuántos años habíavivido Diofanto cuando le llegó la muerte.
Solución
Al resolver la ecuación y hallar el valor de la incógnita, 84, conocemos los siguientes datos
biográficos de Diofanto: se casó a los 21 años, fue padre a los 38, perdió a su hijo a los 80 y
murió a los 84.
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3. El caballo y el mulo
Capítulo 2

2

Preparado por Patricio Barros

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Yakov Perelman

Problema
He aquí un antiguo...