algebrec03

Álgebra Recreativ a

Yakov Perelman

CAPITULO TERCERO
EN AYUDA DE LA ARITMETICA
Contenido:
1. Multiplicación abreviada
2. Las cifras 1, 5 y 6
3. Los números 25 y 76
4. "Números" infinitos
5. Compensación
6. Divisibilidad por 11
7. El número del automóvil
8. Divisibilidad por 19
9. Teorema de Sofía Germain
10. Números compuestos
11. Acerca de los números primos
12. El mayor número primo conocido13. Un cálculo muy laborioso
14. En ocasiones es preferible no recurrir al álgebra

La aritmética es a menudo incapaz de demostrar categóricamente, con sus propios medios,
la veracidad de algunas de sus afirmaciones. En tales casos tiene que remitirse a los
métodos sintetizadores del álgebra. A este género de tesis aritméticas, fundamentadas en el
álgebra, pertenecen, por ejemplo, muchas de lasreglas empleadas en las operaciones
abreviadas, las curiosas propiedades de algunos números, los caracteres de la divisibilidad,
etc. Este capítulo lo dedicamos al examen de cuestiones de este tipo.
1. Multiplicación abreviada
Las personas con grandes hábitos calculatorios facilitan con frecuencia las operaciones
mediante transformaciones algebraicas poco complejas. Por ejemplo, la operación 9882 seefectúa como sigue:
988 * 988 = (988 + 12) * (988 - 12) + 122 = 1000*976 + 144 = 976 144
Es fácil comprender que en este caso se recurre ala siguiente transformación algebraica:
a2 = a2 – b2 + b2
En la práctica podemos aplicar esta fórmula para los cálculos mentales. Por ejemplo:
272
632
182
372
482
542

=
=
=
=
=
=

(27 + 3)*(27 66 * 60 +
20 – 16 +
40 * 34 +
50 - 46 +
58 * 50 +

3)
32
22
32
2242

+ 32 =
=
=
=
=
=

729
3969
324
1369
2304
2916

La multiplicación 986 * 997 se realiza así:
986 * 997=(986-3) * 1000 + 3 * 14 = 983 042.

Capítulo 3

1

Patricio Barros

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Yakov Perelman

¿En qué se basa este método? Supongamos a los factores en forma de:
(1000-14)*(1000 - 3)
y multipliquemos estos factores según las reglas del álgebra:
1000*1000 – 1000*14 – 1000*3 + 14*3.
Acontinuación siguen las transformaciones:
1000*(1000 - 14) –1000*3 + 14*3 =
= 1000*986 – 1000*3 + 14*3 =
= 1000 (986 - 3) + 14*3
La última línea es la que expresa el método de dicho cálculo. Ofrece interés el procedimiento
para multiplicar dos números compuestos de tres cifras, cuando el guarismo de las decenas
es el mismo, y la suma de las unidades, 10.
Por ejemplo, la multiplicación
783*787
seefectuará de esta manera:
78*79 = 6162; 3*7 = 21
y su resultado es
616.221.
Este método se deduce de las siguientes transformaciones:
(780-1-3)*(780 -1-7) =
= 780*780 - 1- 7803 + 780*7 + 3*7=
= 780*780 + 780*10 + 3*7 =
= 780*(780 + 10) + 3*7 = 780*790 + 21 =
= 616.200 + 21
Existe otro medio, todavía más sencillo, para realizar multiplicaciones análogas:
783*787 = (785 - 2)*(785 + 2) = 7852 - 4 =
=616.225 - 4=616.221
En este ejemplo hemos tenido que elevar al cuadrado el número 785. Para elevar
rápidamente al cuadrado un número acabado en 5, es muy cómodo el siguiente método:
352 ; 3*4 = 12; resultado 1225
652 ; 6*7 = 42; resultado 4225
752 ; 7*8 = 56; resultado 5625
Se efectúa la operación multiplicando la cifra de las decenas por otra mayor que ésta en una
unidad, y escribiendo 25 acontinuación del resultado.
El método se basa en lo siguiente: si el número de decenas es a, todo el número puede ser
expresado así:
Capítulo 3

2

Patricio Barros

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10a + 5.
El cuadrado de este número, como cuadrado de un binomio será igual a
100a2 + 100a + 25 = 100a*(a + 1) + 25
La expresión a*(a + 1) es el resultado de multiplicar la cifra de las decenas por ellamisma
aumentada en urea unidad. Multiplicar el número por 100 y añadirle 25 es lo mismo que
colocar 25 a la derecha del producto. De este mismo método se desprende el sencillo medio
de elevar al cuadrado los números mixtos en los que la parte fraccionaria es 1/2.
Por ejemplo:
(3 1/2)2 = 3.52 = 12.25 = 12 1/4
(7 1/2)2 = 7.52 = 56.25 = 56 1/4
(8 1/2)2 = 8.52 = 72.25 = 72 1/4
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2. Las cifras...