algebrec04

Álgebra Recreativa

Yakov Perelman

CAPITULO CUARTO
LAS ECUACIONES DE DIOFANTO
Contenido:
1. Compra de una bufanda
2. Una revisión en la tienda
3. Compra de sellos de correos
4. Compra de frutas
5. Adivinar el día de nacimiento.
6. Venta de pollos
7. Dos números y cuatro operaciones
8. Cómo será el rectángulo
9. Dos números de dos cifras
10. Los números de Pitágoras
11. Ecuación indeterminada detercer grado
12. Cien mil marcos por la demostración de un teorema
1. Compra de una bufanda
Problema
Una bufanda cuesta 19 rublos, pero el comprador no tiene más que billetes de tres rublos; y
la cajera, sólo de cinco. ¿Puede en estas condiciones abonarse el importe de la compra, y
cómo hacerlo?
La misión de este problema se reduce a saber cuántos billetes de tres rublos deben
entregarse a lacajera para que ella dé las vueltas con billetes de cinco, cobrando los 19
rublos. Las incógnitas del problema son dos: el número de billetes de tres rublos (x) y el
número de billetes de cinco (y). Sólo puede plantearse una ecuación:
3x - 5y = 19
Aunque una ecuación con dos incógnitas tiene infinidad de soluciones, esto no quiere decir
que entre ellas haya alguna en las que x e y sean númerosenteros y positivos (recordemos
que se trata del número de billetes de banco). He aquí por qué el álgebra ha elaborado el
método de solución de estas ecuaciones "indeterminadas". El mérito de haberlas introducido
en el álgebra pertenece al primer sabio europeo que cultivó esta ciencia, a Diofanto, célebre
matemático de la antigüedad, por lo que estas ecuaciones se llaman con frecuencia
"ecuaciones deDiofanto".
Solución
En el ejemplo citado mostremos cómo deben resolverse tales ecuaciones. Hay que hallar el
valor de x y de y en la ecuación
3x - 5y = 19
sin olvidar que tanto x cómo y son números enteros y positivos. Despejando la incógnita
cuyo coeficiente es menor, es decir, 3x tendremos:
3x = 19 + 5y
de donde
x = (19 + 5y) / 3 = 6 + y +(1 + 2y) / 3
Como x, 6 e y son números enteros, laecuación puede ser acertada sólo en el caso de que
(1 + 2y)/3 sea también un número entero. Expresémosle con la letra t. Entonces
Capítulo 4

1

Patricio Barros

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Yakov Perelman

x = 6 + y + t,
donde
t = (1 + 2y)/3
y, por tanto,
3t = 1 + 2y , 2y = 3t - 1
De la última ecuación despejaremos la y
y = (3t -1)/2 = + (t - 1)/2
Como quiera que y y t son números enteros, (t - 1)/2 debeser un número entero t1 . Por
consiguiente,
y = t + t1
y, además,
t1 = (t - 1)/2
de donde
2t1 = t - 1
t = 2t 1 + 1
Sustituyamos el valor de t = 2t 1 + 1 en las igualdades anteriores:
y = t + tl = 2t1 + 1 + tl = 3t1 + 1
x = 6 + y + t = 6 + (3tl a - 1) + (2t 1 + 1) = 8 + 5t1
De esta forma hemos encontrado la expresión para x y para y
x = 8 + 5t1
y = 1 + 3t 1
Es sabido que x e y son enteros y, además,positivos, es decir, mayores que 0; por lo tanto,
8 + 5t 1 > 0
1 + 3t 1 > 0
De estas desigualdades resulta que
5t1 > -8 y tl > -8/5
3t1 > -1 y tl > -1/3
Con esto el valor tl está acotado.
De aquí que la magnitud tl es mayor que -1/3, (y claro, mucho mayor que -8/5). Mas, como
t l es un número entero, se deduce que puede tener tan sólo los siguientes valores:
t l = 0, 1, 2, 3, 4, ...
Capítulo 42

Patricio Barros

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Yakov Perelman

Los valores correspondientes de x y de y son:
x = 8 + 5t1 = 8, 13, 18, 23, ...
y = 1 + 3t 1 = 1, 4, 7, 10, ....
Veamos ahora de qué manera puede efectuarse el pago: o bien se entregan 8 billetes de 3
rublos, recibiendo de vuelta uno de cinco:
8 - 3 - 5 = 19
o se entregan 13 billetes de 3 rublos, recibiendo de vuelta 4 billetes de 5 rublos:13*3 - 4*5 = 19
Teóricamente, este problema tiene infinidad de soluciones, pero en la práctica su número es
limitado, por cuanto ni el comprador, ni la cajera tienen una cantidad ilimitada de billetes de
banco. Si cada uno dispone, por ejemplo, de 10 billetes, el pago puede efectuarse sólo de
una forma: entregando 8 billetes de 3 y recibiendo uno de 5. Como vemos, en la práctica las
ecuaciones...