algebrec05

Álgebra Recreativa

Yakov Perelman

CAPÍTULO QUINTO
LA SEXTA OPERACIÓN MATEMÁTICA
Contenido:
1. Sexta operación
2. ¿Qué raíz es mayor?
3. Resuélvase al primer golpe de vista
4. Comedias algebraicas

1. Sexta operación
La suma y la multiplicación tiene cada una su operación inversa, la sustracción y la división.
La quinta operación aritmética, la potenciación o elevación a potencias, tiene dosoperaciones inversas: la que tiene por objeto encontrar la base y la dedicada a hallar el
exponente. Cuando la incógnita es la base, tenemos la sexta operación matemática,
denominada radicación; si se trata del exponente, efectuamos la séptima operación, llamada
cálculo logarítmico. Es fácil comprender por qué la potenciación tiene dos operaciones
inversas, en tanto que la suma y la multiplicación notienen más que una. Los sumandos (el
primero y el segundo) pueden alterar su orden entre sí. Otro tanto sucede con la
multiplicación. En cambio, los elementos de la potenciación, es decir, la base y el exponente,
no gozan de esa propiedad por lo que no pueden invertirse sus funciones (por ejemplo, 35 ≠
53 ). De ahí que para hallar cada uno de los términos de la suma o la multiplicación se
empleenlos mismos procedimientos en tanto que la base de la potencia se halla por un
procedimiento distinto al utilizado para encontrar su exponente.
La sexta operación, la radicación, se expresa con el signo √¯. No todos conocen que este
signo es una variante de la letra latina r, primera de la palabra latina radix, que significa
"raíz". En otros tiempos (en el siglo XVI), el signo de raíz, no era la rminúscula, sino la
mayúscula, la R, y junto a ella se escribía la primera letra de las palabras latinas quedratus,
la q, o la primera de cubus, la c, señalando con ello que la raíz a extraer era cuadrada o
cúbica1 .
Escribían, por ejemplo,
R.q.4352
en lugar de la moderna expresión

4352
Si a esto añadimos que a la sazón no eran empleados en general los signos actuales de más
y menos, y en sulugar se colocaban las letras p. (de plus) y m. (de minus), y que los
paréntesis eran expresados con los signos  , comprenderemos el extraño aspecto que las
expresiones algebraicas ofrecerían al lector contemporáneo.
Véase una de ellas tomada, por ejemplo, de un libro del antiguo matemático Bombelly (año
1572):
R.c. R.q.4352p. 16  m.R.c. R.q.4352m. 16 
Lo que nosotros escribiríamos como sigue:1

En el manual de matemáticas escrito por Magnitski que era libro de texto en Rusia durante la primera mitad del
siglo XVIII no existe en absoluto un signo especial para la operación de la extracción de raíces.
Capítulo 5

1

Patricio Barros

Álgebra Recreativa

Yakov Perelman

3

4352 + 16 − 3 4352 − 16

Para la operación n a , además de esta expresión, empléase la de a1/n , muy cómoda parageneralizar gráficamente la idea de que toda raíz no es otra cosa que una potencia con un
exponente fraccionario. Esta segunda variante fue propuesta por Stevin, notable matemático
holandés del siglo XVI.
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2. ¿Qué raíz es mayor?
Primer problema
¿Qué es mayor
5

5

ó

2

Resuélvase éste y los problemas que le siguen con la condición de que no se hallen las
raíces.
Solución
Elevando ambasexpresiones a la décima potencia, obtendremos:

( 5 5 ) 10 = 5 2 = 25 y ( 2 )10 = 25 = 32
y como 32 > 25, entonces
5

5 < 2

4

ó

Segundo problema
¿Qué raíz es mayor:
4

7

7

Solución
Elevemos ambas expresiones a la potencia de grado 28 y tendremos:

(4 4 )2 8 = 47 = 21 4 = 27 * 27 = 128 2
(7 7 )2 8 = 7 4 = 2 1 4 = 7 2 * 7 2 = 49 2
Como 128 > 49, resultará que
4

4 >77

Tercer problema
¿Qué raíz esmayor:

7 + 10

Capítulo 5

ó

2

3 + 19

Patricio Barros

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Yakov Perelman

Solución
Elévense ambas expresiones al cuadrado y resultará:

( 7 + 10)2 = 17 + 2 70
( 3 + 19)2 = 22 + 2 57
De ambos términos restemos 17 y tendremos

7 + 2 70 y 5 + 2 57
Si después elevarnos ambas expresiones al cuadrado, obtendremos 280 y 253 + 57 .
Restando 253 podremos comparar los resultados 27 y 20...