algebrec08

Álgebra Recreativa

Yakov Perelman

CAPITULO OCTAVO
PROGRESIONES

Contenido:
1. La progresión más antigua
2. Álgebra en papel cuadriculado
3. El riego de la huerta
4. La comida para las gallinas
5. Brigada de cavadores
6. Las manzanas
7. La compra del caballo
8. La recompensa del soldado

1. La progresión más antigua
Problema
El problema de progresiones más antiguo no es el de la recompensa alinventor del ajedrez,
que tiene ya más de dos mil años, sino otro mucho más viejo, repartición del pan, registrado
en el célebre papiro egipcio de Rind. Este papiro, hallado por Rind a fines del siglo pasado,
fue escrito unos 2000 años antes de nuestra era y constituye una copia de otra obra
matemática aún más remota que data seguramente del tercer milenio antes de nuestra era.
Entre los problemasaritméticos, algebraicos y geométricos que figuran en dic ho documento
aparece el que transmitimos en traducción libre.

Figura 33.
Entre cinco personas se repartieron cien medidas de trigo, de tal suerte que la segunda
recibió más que la primera tanto como le correspondió a la tercera más que a la segunda, a
la cuarta más que a la tercera y a la quinta más que a la cuarta. Además, las dosprimeras
obtuvieron siete veces menos que las tres restantes. ¿Cuánto correspondió a cada una?
Solución
Es evidente que las cantidades de trigo distribuidas entre los cinco participantes en el
reparto constituyen una progresión aritmética creciente. Supongamos que el primer
miembro sea x, y la diferencia, y.
En ese caso tendremos:
Capítulo 8

1

Patricio Barros

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Yakov Perelman

Partede la 1ª
2ª
3ª
4ª
5ª

x
x+y
x + 2y
x + 3y
x + 4y

De acuerdo con las premisas del problema establecemos estas dos ecuaciones:
x + (x + y)+(x + 2y)+( x + 3y)+( x + 4y)=100,
7[x + (x + y) ]= (x + 2y) + (x + 3y)+(x + 4y).
Después de su simplificación, la primera ecuación será
x + 2y = 20,
y la segunda:
11x = 2y.
Al resolver este sistema resultará
x = 1 2/3, y = 9 1/6
Por consiguiente, el trigo debeser repartido en las siguientes proporciones:
1 2/3, 10 5/6, 29 1/6, 38 1/3
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2. Álgebra en papel cuadriculado
A pesar de que este problema de progresiones tiene ya 50 siglos de antigüedad, en la
práctica escolar, la progresión apareció hace relativamente poco lempo. Aunque en el
manual de Magnitski, publicado hace doscientos años y empleado en Rusia durante medio
siglo como texto en lasescuelas, se trata de progresiones, no se dan fórmulas generales que
liguen las magnitudes que figuran en las mismas. Por esa razón, el propio autor sale airoso
de esos problemas sólo a costa de grandes esfuerzos. Y, sin embargo, la fórmula de la
suma de los miembros de la progresión aritmética puede deducirse por un medio sencillo y
gráfico, empleando para ello el papel cuadriculado. En éste,cualquier progresión aritmética
puede expresarse con una figura escalonada. Por ejemplo, la figura ABDC, de la figura 34
representa la progresión: 2; 5; 8; 11; 14.

Figura 34.

Capítulo 8

2

Patricio Barros

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Yakov Perelman

Para determinar la suma de los miembros completamos el diseño hasta formar el rectángulo
ABGE y obtendremos dos figuras iguales: ABDC y DGEC. La superficie decada una
representa la suma de los mie mbros de nuestra progresión. De ahí que la doble suma de los
miembros sea igual a la superficie del rectángulo ABGE, es decir:
(AC + CE) × AB.
Pero AC + CE expresa la suma de los miembros 1° y 5° de la progresión; AB representa el
número de miembros de la progresión, por eso, el doble de la suma.
2S = (suma del primero y el último término) × (número de términos)o
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S = (primer término + último término) × (número de términos) / 2

3. El riego de la huerta
Problema
En una huerta hay 30 caballones; cada uno de ellos tiene 16 m de largo y 2,5 m de ancho.
Durante el riego, el hortelano lleva los cubos de agua desde el pozo situado a 14 metros del
extremo de la huerta (figura 35) y da la vuelta al caballón por el surco. El agua que carga
cada vez le...