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Tutorial de series de Fourier

Conceptos clave Identidad entre cualquier se˜al peri´dica y una suma de exponenciales n o complejas M´todo mec´nico para obtener la suma de exponenciales complejas e a Espectro de amplitud y fase La idea clave de las series de Fourier es que cualquier se˜al peri´dica, cualn o quiera1 , es igual a una suma de exponenciales complejas, cada una de cierta amplitud,fase y frecuencia. Como una exponencial compleja es un coseno m´s un a seno (de amplitud compleja, entonces toda se˜al peri´dica es igual a una suma n o de senos y cosenos, cada uno con una fase, frecuencia y amplitud particular. El an´lisis de Fourier consiste en encontrar, para una se˜al peri´dica x(t), a n o las exponenciales complejas que, sumadas, son iguales a x(t). Esto equivale a encontrarla fase, frecuencia y amplitud de cada exponencial compleja. De acuerdo a Fourier, cualquier se˜al x(t) se puede escribir como n
∞

x(t) =
k=−∞

ck ejkω0 .

Analicemos esta ecuaci´n: o Es una sumatoria de un n´mero infinito de sumandos. La suma tiene un u ´ ındice, k, que es entero y toma todos los valores entre −∞ y ∞. Cada sumando contiene un n´mero ck , que es un n´mero complejo. Estos uu n´meros se llaman coeficientes de Fourier. u Cada coeficiente multiplica a una exponencial compleja de frecuencia kω0 , donde ω0 es la frecuencia de x(t). Esto es, cada exponencial compleja tiene una frecuencia igual a kω0 , y tiene una amplitud y una fase determinadas por ck (ver ultimo p´rrafo del tutorial de trigonometr´ ´ a ıa). El proceso para encontrar la serie de Fourier de x(t) estotalmente mec´nico. a Hay que seguir estos pasos:
1 No todas las funciones matem´ticas peri´cicas tienen serie de Fourier, pero s´ todas las a o ı se˜ales usadas en telecomunicaciones n

1

Paso 1. Encontrar la frecuencia ω0 de x(t). Paso 2. Encontrar el periodo de x(t) con la f´rmula T0 = 2π/ω0 . o Paso 3. Encontrar los coeficientes complejos de Fourier ck con la siguiente f´rmula: o 1 ck =x(t)e−jkω0 t dt. T0 T0 Analicemos esta ecuaci´n: o Para resolver la integral, necesitamos los valores de ω0 y T0 encontrados en los pasos 1 y 2. La integral se hace sobre un periodo de x(t); qu´ periodo particular e no importa. Lo m´s com´n es hacer la integral de 0 a T0 , o de −T0 /2 a u a T0 /2. La ecuaci´n que resulta de resolver la integral tiene un par´metro o a k. Para encontrar cada coeficiente de laserie de Fourier hay que sustituir k por n´meros enteros. Por ejemplo, sustituir k = 0 nos da u c0 , k = 1 nos da c1 , k = −1 nos da c−1 , etc´tera. Los coeficientes ck e son n´meros complejos. u Espectro de una se˜ al. La gr´fica de una se˜al x(t) nos da cierta inforn a n maci´n sobre la se˜al: su forma, c´mo cambia en el tiempo, su amplitud, sus o n o cruces por cero. La serie de Fourier nos daotro tipo de informaci´n: qu´ como e ponentes forman a la se˜al, y qu´ amplitud y fase tiene cada componente. Los n e componentes son las exponenciales complejas que, sumadas, son iguales a la se˜al x(t). n As´ como se puede graficar la se˜al x(t) de la forma convencional, sus ı n coeficientes complejos de Fourier tambi´n se pueden graficar. Esto nos permite e visualizar sus propiedades. Como loscoeficientes son complejos, no se pueden graficar en una s´la gr´fica, se necesitan dos: una para su magnitud, y otra para o a su fase. Si escribimos cada coeficiente ck en coordenadas polares, ck = |ck |ej∠ck , entonces podemos graficar la magnitud y la fase por separado. Ver un ejemplo m´s adelante. a Repitiendo: la gr´fica de una se˜al en el tiempo y sus espectros de magnitud a n y fase son dosrepresentaciones de la misma se˜al; cada representaci´n nos da n o diferente informaci´n sobre la se˜al. Es com´n decir que la gr´fica convencional o n u a a a de x(t) est´ en el dominio del tiempo y que los espectros est´n en el dominio de la frecuencia. Para el dise˜o y an´lisis de sistemas de comunicaciones, la visi´n n a o en el dominio de la frecuencia resulta muchas veces mucho m´s util que la del...