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Sistemas de amortizaci´ n o

1.

Introducci´ n o
Un sistema de amortizaci´ n es un m´ todo por el cual un capital cedido en pr´ stamo es o e e

devuelto por una sucesi´ n de pagos o cuotas. Estas cuotas peri´ dicas constituyen una renta o o cuyo valor actual debe ser igual al pr´ stamo otorgado. e Se puede suponer que cualquier sistema de amortizaci´ n es una anualidad o renta con pagos ovencidos, ya que si la primera cuota se pagara al momento del pr´ stamo ser´a equivalente a e ı considerar un pr´ stamo de menor valor con cuotas vencidas. Entonces, si el pr´ stamo es por un e e monto V y las cuotas de devoluci´ n son c1 , c2 , · · · , cn , entonces el valor actual de dicha renta o al momento del pr´ stamo deber´ ser V . e a Existen diferentes sistemas de amortizaci´ n. Dos delos m´ s sistemas m´ s conocidos son o a a el sistema alem´ n, que utiliza cuotas variables, decrecientes en forma aritm´ tica, y el sistema a e franc´ s en el cual la deuda se amortiza con cuotas constantes. e

1.1. Caracter´sticas de un sistema de amortizaci´ n ı o
Consideraremos sistemas de amortizaci´ n en el cual el pr´ stamo V es devuelto en n cuotas o e equiespaciadas en el tiempo: c1 , c2, . . . , cn . Tomaremos como unidad de tiempo el lapso entre dos cuotas consecutivas, y como origen del tiempo al momento del pr´ stamo. As´ el pr´ stamo est´ ubicado en t = 0 y la k-´ sima cuota e ı e a e ck en t = k. Denotaremos con i a la tasa de inter´ s efectiva en el per´odo unitario de tiempo. e ı 1

Cada cuota del sistema de amortizaci´ n se compone de dos partes: o ck = v k + s k ,donde vk se denomina cuota de amortizaci´ n real y sk es la cuota de inter´ s. La suma de las n o e cuotas de amortizaci´ n real es igual al valor del pr´ stamo: o e V = v1 + v2 + · · · + vn , mientras que las cuotas de inter´ s se calculan como el inter´ s sobre las cuotas de amortizaci´ n e e o a´ n no pagadas: sk = i · (vk + · · · + vn ). u Esto significa que en cada cuota el deudor paga unaparte del capital prestado, vk , y los intereses sobre el capital a´ n adeudado, sk . u En particular, al momento de haber pagado la k-´ sima cuota, el monto adeudado del pr´ stae e mo es V − (v1 + v2 + · · · + vk ) = vk+1 + · · · + vn , y esto coincide con el valor actual de las cuotas que restan pagar: VAk = ck+1 1 1 + ck+2 1+i 1+i
2

1 ≤ k < n,

+ · · · + cn

1 1+i

n−k

.

´ Cabedestacar que la renta finaliza al momento del pago de la ultima cuota de amortizaci´ n o real, ya que de esta manera se completa el pago del pr´ stamo V y por ende no hay m´ s intereses e a por cobrar. Ejemplo 1.1. Sup´ ngase un pr´ stamo de $1.000 que se amortiza en tres cuotas cada 30 d´as, o e ı y cuyas cuotas de amortizaci´ n real son de $300, $300 y $400 respectivamente, y la tasa de o inter´ sefectiva mensual es del 2 %. e Las cuotas a pagar estar´ conformadas de la siguiente manera: a Cuota Amortizaci´ n real o k 1 2 3 vk $300 $300 $400 Cuota de inter´ s e sk $20(1. 000 · 0,02) $14(700 · 0,02) $8(400 · 0,02) 2 Cuota Saldo adeudado ck $320 $314 $408 VAk $700,00. $400,00. $0,00.

Como ejemplo, la fila correspondiente a la cuota 2 debe leerse as´: en la cuota 2, paga $300 de ıamortizaci´ n real m´ s $14 de inter´ s, por lo que la cuota es de $314. El saldo adeudado luego o a e de pagar la cuota resulta de $400. El valor actual de la renta al momento del pr´ stamo es e 1 1 1 + 314 · + 408 · = 1000, 2 1,02 1,02 1,023 es decir el monto total del pr´ stamo. El valor actual de la renta calculado inmediatamente dese VA0 = 320 · pu´ s de pagar la primera cuota es: e 408 314 + = 700,1,02 1,022 es decir, el saldo adeudado a ese momento. VA1 =

1.2. Sistema alem´ n. a
El sistema alem´ n es un sistema de amortizaci´ n donde las cuotas de amortizaci´ n reales a o o son todas iguales. Es decir, si se prev´ n n cuotas, entonces cada cuota de amortizaci´ n real es e o igual a V , k = 1, 2, . . . , n. n Por lo tanto, el inter´ s que se paga en cada cuota est´ dado por e a vk = V ....