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“Obtención de Pares transformados Z”
(DEMOSTRACIONES)

INGENIERIA EN COMUNICACIONES Y ELECTRONICA
En el presente reporte se demostrará la transformada Z de una secuencia determinada x(n), para ello se realizara empleando los siguientes métodos para su obtención:
* Por definición
* Por integral de contorno

Las secuencias x(n) que se utilizarán para la demostración seencuentran en la tabla de pares transformados que se muestra a continuación en donde se puede observar que en la columna de la derecha esta la secuencia x(n), en la columna del centro la transformada Z de la secuencia x(n) (valores discretos) y en la columna dela izquierda se muestra la transformada en el dominio de la variable compleja s (Transformada de La-place) de la secuencia x (t),(valorescontinuos en el tiempo.)
xn | Xz | Xs |
δn | 1 | 1 |
1 ó μn | zz-1 | 1s |
nT | Tzz-12 | 1s2 |
e-n∝T | zz-e-∝T | 1s+∝ |
an | zz-a | 1s-lnaT |
sinn∝T | zsin∝Tz2-2zcos∝T+1 | ∝s2+∝2 |
cosn∝T | z2-zcos∝Tz2-2zcos∝T+1 | ss2+∝2 |

Tabla de pares transformados
Tabla de pares transformados


Antes de empezar a realizar el desarrollo es importante establecer algunos aspectos importantessobre la transformada Z:
* Para que exista la trasformada Z se requiere que: n=∞∞xnz-n sea convergente.
De la condición anterior es necesario definir la “Región de convergencia” (ROC) que es la zona del plano Z para la cual existe la transformada Z (los valores Z para los cuales la sumatoria converge).

Métodos para la obtención de la transformada Z

* Por definición: Xz=n=0∞x(n)z-n

* Por integral de contorno: X*s=12πjcX(p)1-e-sTePTdp

Donde: X*s=LX*(t) ∴ X*t=xt |nt y Xp=Xs|s=p=Lx(t)|s=p

* Como:Xz=X*s|z=esT → 12πjcX(p)1-z-1ePTdp
Por el método de residuos de Cauchy se evalúa la integral de la siguiente manera:
Xz=mResX(p)1-Z-1ePT|p=pm
Donde pm son los polos del integrando; entonces:
Res=φ(s)|s=pm=1(k-1)!dk-1dsk-1φs(s-Pm)kK= orden del polo
Para un polo de primer orden (k=1)
Res=φ(s)|s=pm= φs(s-Pm)|s=Pm

A continuación se muestra el plano z con sus respectivas zonas:

Obtener la transformada Z de la secuencia: xn=δ(n)
a) Por definición
b) Por integral de contorno

Solución inciso a):
Se define la secuencia impulso unitario discreto δn=1 para n=0, su transformada Z se determina de la siguientemanera:
De la definición de la transformada Z obtenemos:
Xz=n=0∞x(n)z-n
Sustituyendo la secuencia x(n):
Xz=n=0∞δnz-n= δ0+δ1z-1+δ2z-2+δ3z-3+…
∴Xz=1

Solución inciso b):
Se sabe que: Xz=mResX(p)1-Z-1ePT|p=pm
Sí xn=δ(n) entonces δt=μ(t) y Xs=Lδ(t)=1
Por lo tanto: Xp=X(s)s=p=1
De lo anterior se puede ver que solo no presenta polos de ningún orden.
Evaluando X (p) se tiene:Xz=Res11-z-1epT= 11-z-1epT
De lo anterior se tiene:
Xz=11=1

Obtener la transformada Z de la secuencia: xn=μ(n)
a) Por definición
b) Por integral de contorno

Solución inciso a):
Sabemos que: Xz=n=0∞x(n)z-n para este caso:
Xz=n=0∞(1)z-n
Se puede ver que: Xz=n=0∞(1)z-n = n=0∞z-n=1+z-1+z-2+z-3+…
Sí z>1 la sumatoria converge por lo tanto la ROC es: z>1 y su valor de convergenciaes:
Xz=11-z-1=11-z-1*zz=zz-1
Solución inciso b):
Se sabe que: Xz=mResX(p)1-Z-1ePT|p=pm
Sí xn=μ(n) entonces xt=μ(t) y Xs=Lμ(t)=1s
Por lo tanto: Xp=X(s)s=p=1p
De lo anterior se puede ver que solo tiene un polo de primer orden en el origen.
Evaluando X (p) se tiene: Xz=Res1p1-z-1epTp=0= 1 (p-0)p1-z-1epTp=-α
De lo anterior se tiene:
Xz=11-z-1e0*zz=zz-1

Obtener la transformada Zde la secuencia: xn=nT
a) Por definición
b) Por integral de contorno
Solución inciso a):
Para la solución de este caso es importante mencionar la propiedad de la derivación, las derivadas de cualquier orden de X(z) convergen en la ROC.
dX(z)dz
Por definición tenemos: Xz=n=0∞x(n)z-n
Sustituyendo la secuencia x(n): Xz=Tn=0∞nz-n
Considerando n=1 se tiene que la expresión...