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Funciones exponenciales y logarítmicas

1. Funciones exponenciales
2. Funciones logarítmicas
3. Leyes de los logaritmos
4. La base e
5. Crecimiento y decrecimiento exponencial
6. Notación científica
7. Logaritmos comunes y sus aplicaciones


1. Funciones exponenciales






Imagine usted que un cultivo de bacterias crece con tal rapidez que, a cada hora, el número debacterias se duplica. En estas condiciones, sí había 10,000 bacterias cuando el cultivo empezó a crecer, el número habría aumentado a 20,000 después de una hora, habría 40,000 después de 2 horas y así, sucesivamente. Se vuelve razonable decir que

y = f(x) = (10,000)2x

nos da el número de bacterias presentes después de x horas. Esta ecuación define una función exponencial con la variableindependiente x y la variable dependiente (o función) y.
Una función como f(x) = bx, que tiene a la variable como exponente, se conoce con el nombre de función exponencial. Estudiaremos este tipo de funciones con la suposición de que la base numérica b > 0. Por ejemplo, tomemos en consideración la función y = f(x) = 2x con su gráfica. Observe lo siguiente:

1. La función se define para todos losvalores reales de x. Cuando x es negativa, podemos aplicar la definición de los exponentes negativos. Así, para x = -2,



El dominio de la función es el conjunto de los números reales.

2. Para todos los reemplazos, de x, la función adquiere un valor positivo. O sea, 2x no puede representar jamás un número negativo y tampoco es posible que 2x se haga igual a cero. El rango de la funciónes el conjunto de los números reales positivos.

3. Por último, como ayuda para elaborar la gráfica, se pueden localizar unos cuantos pares ordenados de números específicos.







Si se desea, la exactitud de esta gráfica se puede mejorar usando más puntos. Por ejemplo, tomamos en cuenta valores racionales de x, como o :







Usar valores irracionales para x como oπ,constituye una cuestión completamente diferente. (Recuerde usted que nuestro desarrollo de los exponentes se detuvo en los racionales.) Dar un significado preciso a uno de estos números queda fuera del alcance de este curso. Resulta, empero, que la forma indicada de la curva correspondiente a y = 2x es correcta y puede lograr que “se acomoden” en la curva las definiciones formales de ciertosvalores, como .




Se puede usar una calculadora para entender mejor los números como . Por ejemplo, verifique usted estas potencias de 2, con aproximación hasta diezmilésimos.

21.4 = 2.6390
21.41 = 2.6574
21.414 = 2.6647
21.4142 = 2.6651






Dado que los exponentes con decimales están acercándose cada vez más al número irracional , las potencias correspondientes se aproximan a. Así, las aproximaciones exponenciales sugieren que, con la aproximación hasta centésimos. Ahora, encuentre usted directamente con una calculadora y compare los resultados.
En estudios más avanzados se puede demostrar que, para cualquier base positiva a y b. se cumplen las siguientes reglas de los exponentes, representados por números reales cualesquiera, r y s.









Nuestrotrabajo previo con estas mismas reglas, para exponentes racionales, puede servir de base ahora para aceptar estos resultados.

EJEMPLO 1 Elabore la gráfica de la curva correspondiente a y = 8x en el intervalo [-1, 1], usando una tabla de valores.

Solución




Hasta aquí hemos restringido nuestra atención a las funciones exponenciales de la forma y = f(x) = bx, donde b > 1. Todasestas gráficas tienen la misma forma de la función y = 2x. Para b = 1, y = bx = 1x = 1 para todo valor de x. Como en este caso se trata de una función constante. f(x) = l, no usamos la base b = 1 en la clasificación de las funciones exponenciales.
Ahora, exploremos las funciones exponenciales y = f(x) = bx para las cuales tenemos: 0 < b < 1. En particular, si , tenemos: ; o sea: y = 2-x ....