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CARLOS S. CHINEA

AXIOMATIZACIÓN DE LA TEORIA DE CONJUNTOS

AXIOMATIZACIÓN DE LA TEORIA DE CONJUNTOS

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

Introducción. Preliminares. El axioma de extensionalidad. El axioma formador de clases. El axioma del par no ordenado. El axioma de regularidad. El axioma de la gran unión. El axioma del conjunto vacío. El axioma de sustitución. El axioma deinfinitud. El axioma de elección. El axioma de las partes de un conjunto. Bibliografía.

MARCHENA, FEBRERO 2001

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CARLOS S. CHINEA

AXIOMATIZACIÓN DE LA TEORIA DE CONJUNTOS

1. Introducción: Sabemos que un axioma es un principio o postulado básico que es asumido como regla de juego en el proceso de la inferencia lógica, sin ninguna demostraciónprevia. Fue en la antigua Grecia donde empezó el uso de los axiomas, enunciados o afirmaciones siempre condicionados por su aparente autoevidencia. Ejemplos: "Una proposición no puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo". "El todo es mayor que cualquiera de sus partes". La base de la construcción de cualquier disciplina matemática es el método axiomático, es decir, el establecimiento de unconjunto de reglas de razonamiento, de enunciados postulados o axiomas a partir de las cuales, y por las reglas de inferencia del sistema, se derivan otros enunciados o proposiciones que llamamos teoremas. Un axioma es, pues, un principio que permite iniciar una proceso lógico de deducción tomándolo como partida de los pasos de razonamiento. El conjunto inicial de signos, definiciones, enunciadospostulados o axiomas y reglas de derivación desde tales axiomas es el Sistema Axiomático de la disciplina que se construye. Este conjunto inicial de axiomas o reglas no puede ser un conjunto cualquiera de enunciados, sino que debe cumplir los necesarios requisitos que permitan el desarrollo lógico. Debe ser, en efecto, indecidible, consistente y no contradictorio. El objetivo es que sea completo, esdecir, que a partir de él pueda derivarse cualquier enunciado de la disciplina a la cuál sirve de fundamento. 1. Indecidibilidad: Ningún axioma del sistema puede ser obtenido como un teorema partiendo de los restantes. 2. Consistente internamente: Nunca podrá ser derivada una contradicción como teorema. 3. No contradictoriedad: Lo afirmado por un axioma no contradice a lo afirmado por cualquiera delos restantes axiomas del sistema. La Teoría de Conjuntos fue creada en un estadio semiintuitivo. La aparición de algunas paradojas hizo imprescindible su formalización axiomática. En toda axiomatización de la Teoría de los Conjuntos se necesita, por lo menos, un axioma o regla que nos permita discernir en qué condiciones varios conjuntos son el mismo conjunto, es decir, que nos permita extender,hacer una extensión, del concepto de conjunto, así como otro axioma que nos permita definir tipos de conjuntos, es decir, se necesita también, básicamente, un axioma que podríamos llamar formador de conjuntos. La primera axiomatización apareció ya en el año 1908, con los siete axiomas de Zermelo (Berlin 1871-Friburgo 1953): Axioma de extensionalidad Axioma de formación de conjuntos. Axioma del parAxioma de la gran unión Axioma del conjunto de las partes. Axioma de elección.

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Axioma de infinitud., La existencia de algunos conjuntos no quedaba garantizada con los siete axiomas propuestos por Zermelo, por lo que, en 1922, Fraenkel (Munich 1891-Jerusalen1965) propuso añadir un octavo axioma: el axioma de sustitución. Es el sistema axiomático de Zérmelo-Fraenkel (sistema Z-F). En 1925 Von Neumann (Budapest 1903- Washington -1957) presentó un sistema axiomático que representaba un avance sobre el sistema Z-F, pues admitía las clases universales (de todos los conjuntos, de todos los ordinales, de todos los cardinales, ...), no estudiadas en el...