Algoritmo de Euclides

Algoritmo de Euclides (Versi´n Extendida)
o
Conversi´n de n´meros racionales peri´dicos a
o
u
o
fracci´n y viceversa
o
Ruddy Delgado
2013
Abstract
El trabajo consiste en un breve an´lisis sobre la funcionalidad de este
a
algoritmo para encontrar el m´ximo com´n divisor de dos n´meros cuaa
u
u
lesquiera, con la caracter´
ıstica en com´n de ser primos relativos, de forma
u
que selogre utilizar ese mismo com´n divisor (en nuestro caso, 1), para
u
encontrar la soluci´n a la siguiente ecuaci´n: at+bs=1 (la cual llamaremos
o
o
ecuaci´n diof´ntica). Alternando este proyecto, se menciona la existencia
o
a
de n´meros racionales, y se demuestra si son capaces de ser representados
u
como una fracci´n o si este caso es refutable (lo cual cabe dentro de lo
o
posible),empleando t´cnicas de demostraci´n (las cuales ser´n ilustradas
e
o
a
m´s adelante).
a

1

Introducci´n
o

En matem´ticas usualmente se realizan diversas demostraciones, de tal forma
a
que se pueda llegar a un resultado aplicable a cualquier n´mero que se encuentre
u
en un conjunto designado, que en nuestro caso se limita a los n´meros enteros
u
(al conjunto de estos propiamente).Probablemente sea una interesante perspectiva de encontrar una soluci´n a una cuesti´n poco com´n, usando una t´cnica
o
o
u
e
muchos a˜os antes propuesta, para encontrar nuestra planteada respuesta, y
n
es aqu´ donde entrar´ Euclides y sus matem´ticas para iniciar nuestro trabajo.
ı
a
a
Adem´s del algoritmo propuesto por Euclides para la interpretaci´n de ecuaa
o
ciones diof´nticas,se nos presenta otro cap´
a
ıtulo en nuestras investigaciones: la
conversi´n de n´meros racionales peri´dicos a fracci´n, un procedimiento que
o
u
o
o
hemos de averiguar, cuyo descubrimiento es nuestra segunda meta.

2
2.1

Teor´
ıa
Algoritmo de Euclides

Se considera a Euclides como el matem´tico m´s famoso de la Antig¨edad,
a
a
u
aunque poco se conozca de su historia.Tambi´n se le rescata su gran talento
e
con la geometr´ y el razonamiento deductivo. Incursiona por primera vez en
ıa
su algoritmo bas´ndose en algo sumamente elemental: geometr´ Mediante la
a
ıa.

1

geometr´ griega, se rescata el concepto de conmensurabilidad entre dos segıa
mentos. Dos segmentos (AB y CD) llegan a ser conmensurables si un tercer
segmento (GF) cabe exactamente N veces enambos segmentos. A partir de
ello, designa un teorema, cuyos fundamentos son estos:
1. Dados dos segmentos AB y CD (con AB¿CD), restamos CD de AB tantas
veces como sea posible. Si no hay residuo, entonces CD es la m´xima
a
medida com´n.
u
2. Si se obtiene un residuo EA, ´ste es menor que CD y podemos repetir el
e
proceso: restamos EA tantas veces como sea posible de CD. Si al final noqueda un residuo, EA es la medida com´n. En caso contrario obtenemos
u
un nuevo residuo FC menor a EA.
3. El proceso se repite hasta que en alg´n momento no se obtiene residuo.
u
Entonces el ultimo residuo obtenido es la mayor medida com´n.
´
u

2.2

Versi´n Tradicional del Algoritmo de Euclides
o

Sean (a,b) dos n´meros enteros distintos de 0, con a mayor a b. Sea el algoritmo
u
dedivisi´n de ambos n´meros denotado por la ecuaci´n:
o
u
o
a=bq1 +r1 , donde r es el residuo.
Si r1 =0 ⇒ b/a
Si r1 =0, se procede a una nueva ecuaci´n, denotada por b=r1 q2 +r2
o
En el caso de que r2 =0, se utiliza una vez m´s el algoritmo, con una ecuaci´n
a
o
definida por r1 = q2 r2 + r3 .
Este paso se repite n veces hasta que rn sea igual a 0 (donde rn es el ultimo
´
residuo delalgoritmo, por consiguiente r( n − 1) es el m.c.d. de (a,b)).

2.3

Versi´n Extendida del Algoritmo de Euclides
o

A partir del m´todo tradicional previamente explicado, se deriva una resoluci´n
e
o
de un tipo de ecuaci´n llamada ecuaci´n diof´ntica. La ecuaci´n como tal se
o
o
a
o
compone de dos variables (puesto que nuestro inter´s principal es la resoluci´n
e
o
de una ecuaci´n...