algoritmo de risch

Algoritmo de Risch
En matemática el algoritmo de Risch, nombrado en honor a Robert H. Risch, es un algoritmo utilizado para el cálculo de integrales indefinidas (es decir, encontrarla función primitiva de una función dada).
El algoritmo transforma el problema de integración en un problema de álgebra diferencial. Se basa en el tipo de función que se integra y en el uso de métodospara integrarfunciones racionales, radicales, logaritmos, y funciones exponenciales.
Risch desarrolló el algoritmo en 1968, denominándolo un procedimiento de decisión, porque es un métodopara decidir si una función posee como integral indefinida una función elemental; y en el caso que la tuviera permite calcularla. En 1976 se desarrolló el algoritmo de Risch-Norman, que aunque esmás rápido es una técnica menos poderosa.

Liouville formuló el problema cuya solución viene dada por algoritmo de Risch. Liouville consiguió demostrar analíticamente que si existe unafunción elemental g que sea solución de la ecuación g ′ = f entonces existe un cierto número de constantes αi y funciones elementales ui y v, tales que:

Risch desarrolló un método que permiteconsiderar sólo un conjunto finito de funciones elementales de la forma encontrada por Liouville para resolver el problema.
La intuición detrás del algoritmo de Risch proviene delcomportamiento de las derivadas de las funciones exponencial y logarítmica. Para la función f eg, donde f y g sonfunciones diferenciables, se tiene:

por lo que si eg apareciera como resultado de unaintegración indefinida, entonces debería aparecer dentro de la integral. Igualmente para los logaritmos se tendría:

entonces si lnng apareciera como resultado de la integración,entonces solose esperaría que aparecieran unas pequeñas potencias del logaritmo.
Una consecuencia importante del algoritmo de Risch es que la integral gaussiana IG no es una función elemental.