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UNIVERSIDAD CATÓLICA DE COLOMBIA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
CALCULO VECTORIAL
GUÍA DE LABORATORIO 010
2011-1

Revise las siguientes definiciones y luego realice el taller que encuentra al final del
documento.
Superficies Cuadráticas
Definición:
Una superficie cuadrática ( o cuádrica ) es la gráfica de una ecuación de segundo
grado con tres variables x, y,z. La forma general de la ecuación es:
Ax 2  By2  Cz2  Dxy  Eyz  Fxz  Gx  Hy  Iz  J  0

Donde A, B, C, …, J son constantes.
1. Elipsoide.

y2 z2
 2  2 1
a2 b
c
Las trazas del elipsoide son elipses, es decir, la
intersección con planos paralelos a los planos
coordenados es una elipse
Tiene por ecuación

x2

y2 z2
Si x  0 

 1 elipse
b2 c2

x2 z2
Si y  0 
 1 elipse
2 c2
a

Si z  0 

x2 y2

 1 elipse
2 b2
a

2. Hiperboloide de una hoja.

Tiene por ecuación

x2
a2



y2
b2



z2
c2

1

Las trazas del hiperboloide son hipérbolas
en planos paralelos al plano XZ y al YZ,
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mientras que en planos paralelos al XY las
trazas son elipses.

Si x  0 

y2 z2

 1 Hiperbola
2 c2
b

Si z  0 

Si y  0 

x2 z2

 1 Hiperbola
a2 c2

x2 y2

 1 Elipse
a2 b2

El eje por donde se abre el hiperboloide es por el eje cuya variable aparece en
la ecuación negativa ( en este caso eje z). La diferencia fundamental entre el
hiiperboloide de unahoja y el elipsoide es que tiene una variable con signo
negativo.
3. Hiperboloide de dos hojas.

x2 y2 z2
Tiene por ecuación  2  2  2  1
a
b
c
Las trazas de estas superficies son:
Para planos paralelos a XZ son hipérbolas
al igual que para planos paralelos al YZ.

z2 y2
si x  0 

 1 hiperbola
c2 b2
z2 x2
si y  0 

 1 hiperbola
c2 a2
Se diferencia de las otrassuperficies ya que tiene dos variables negativas.

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4. Paraboloides

x2 y2

 1 imposible! ! !  no hay gráfica
a2 b2
x2 y2 z
Tiene por ecuación 2  2 
c
a
b
Las trazas del paraboloide son:
Para planos paralelos al XY son elipses,para planos paralelos al XZ o al YZ son
si z  0  

Si x  0 

y2 z

b2 c

b2z
 y2 
c

parábola

parábolas.
Su diferencia con las otras cuádricas es que tienen una variable que no está
elevada al cuadrado, y las otras variables tienen el mismo signo.
5. Paraboloide hiperbólico.
Tiene por ecuación

x2



y2



z

a 2 b2 c
Su diferencia fundamental con las
otrassuperficies es que ella tiene en
su ecuación una variable que no está
elevada al cuadrado, y las otras
variables tienen los signos contrarios.
Trazas:

si y  0 

x2 z

a2 c

parábolas

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si x  0  

si z  0 

y2 z

2 c
bparábolas

x2 y2
a

 0  x  y Dos rectas! !
b
a2 b2

6. Conos

La superficie cuádrica que tiene por ecuación

Se denomina Cono.

y2
x2
z2


a2
b2
c2

Z

y2 z2
b

 y  z Dos rectas
c
b2 c2
x2 z2
a
Si y  0 

 x  z Dos rectas
c
a2 c2

Si x  0 

si z  K 

Y

x2 y2 k2


Elipse, ¿Y si a  b? X
a2 b2 c2

Las trazas del cono son:7. Cilindro circular recto:
Cuando una de las variables x, y o z no aparece en la ecuación de la superficie,
Entonces la superficie es un Cilindro. Por ejemplo:

x2  y2  a2
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Es un cilindro en el espacio ya que falta la variable z. Por lo...