Algoritmos de Búsqueda y Ordenación

ECUACIONES DIFERENCIALES,
CONCEPTOS BASICOS

56. ecuación diferencial.

Es una función o una ecuación en la que interviene dicha función, y, una o más de sus derivadas, es decir es una ecuación que establece una relación entre la variable independiente x, la función buscada y = (x) y sus derivadas y', y'', y''', y ... y(n) Simbólicamente se representa como:

F( x, y, y', y'', y''',y... y(n)) = 0

Otra forma de representar es:


57. Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales.

El campo de acción de estas ecuaciones es ilimitado permitiendo resolver problemas de Física, Química, Biología, Ingeniería, crecimiento de población.

58. Tipo de una ecuacion.

Dependiendo del número de variables independientes, las ecuaciones diferenciales pueden ser ordinarias oparciales.

Ecuacion diferencial ordinaria . Es una ecuación que tiene una sola variable independiente, así:

Ecuación diferencial parcial. Cuando una función depende de 2 o más variables, las derivadas serán parciales, por lo que dicha ecuación se denomina "Ecuación en derivadas parciales " así.

59. Orden de una ecuación diferencial.

El orden es la máxima derivada que aparece en unaecuación, así.

Y' = 0 ( 1er orden ) (y')
Y''' - 2y'' = 0 (III orden ) (y''')


60. Grado de una ecuación.

Es el exponente de la derivada de mayor orden, así:

Y''' - 3(y'')2 + 5y1 = 0 (III orden y I grado)

Ejemplo 75

1. Identificar y clasificar las siguientes ecuaciones:

TIPO GRADO ORDEN




61. Solución de unaecuación diferencial.

Y = f(x) se denomina solución de una ecuación diferencial cuando al reemplazar Y y sus respectivas derivadas en dicha ecuación, esta se transforma en una identidad.


Ejemplo 76

Determinar si y = e-2x es solución de la ecuación diferencial
Y'' +3y' +2y = 0
Y' = e-2x
Y'= -2e-2x
y'' = 4e-2x
4e-2x - 6e-2x +2e-2x = 0
0 = 0
Como cumple la igualdad, si essolución

Comprobar si y = 3e-2x +5e-x es solución de la ecuación diferencial Y''+3y' +2y=0

y = 3e-2x +5e-x
Y'=-6e-2x -5-x
Y''=12e-2x +5e-x
12e-2x +5e-x +3(-6e-2x -5e-x) + 2 (3e-2x +5e -x)=0

12e-2x +5e-x -18e-2x -15e-x +6e-2x +10e-x = 0

0 = 0 (Si es solución)





62. Solución general y particular de las ecuaciones diferenciales

Soluciónparticular. Es cualquier solución que se obtiene asignando valores específicos a la constante arbitraria C. Es decir la solución particular es el resultado específico de una solución general a la cual se le designa valores de x y y conocidos como condiciones que pueden ser, dependiendo de cómo se establezcan de dos tipos de problemas: de valores iniciales y de valores en la frontera.


Problemas devalores iniciales. Se constituye de una ecuación diferencial de orden n y un conjunto de condiciones independientes, todas ellas válidas para el mismo punto inicial, así; si la ecuación es:

F( x, y, y', y'', y''',... y(n)) = 0 (ecuación que define el problema) , x = al punto inicial, y(a)= y(o) y'(a) = y'(o) y''(a) = y''(o) y''' = y'''(o) y(n) (a) = y(n) (o)Gráficamente, la solución de un problema de valores iniciales se representa así:



F(x,y) = 0





X = a


Problemas de valores en la frontera. Este tipo de problemas deben establecerse con condiciones de frontera en todos y cada uno de los puntos del dominio , por ejemplo; en particular, si x = a y x = b, es decir que el dominiode soluciones está en el intervalo cerrado a x b


Ejemplo 77: Verificar si la solución de la ecuación diferencial xy' -3y = 0 es y = cx3, calcular la solución particular para la condición inicial x = 3 y = 2

Derivando la solución: Y' = 3cx2

Reemplazando en la ecuación diferencial: x(3cx2) - 3 (cx3) = 0

3cx3 - 3cx3 = 0

0 = 0 y = cx3 Si es solución
-2 =...