algrabra de boole

Álgebra de Boole

Leyes y propiedades del Algebra de Boole
 Simplificar funciones utilizando el Algebra
de Boole
 Analizar circuitos mediante Algebra de
Boole y simplificarlos
 Pasar de una tabla de verdad a Suma de
Productos y Producto de Sumas
 Utilizar Mapas de Karnaugh para
simplificar funciones lógicas


Algebra de Boole binaria
En 1860 George Boole desarrolló un Algebra en la que losvalores de A y
B sólo podían ser “verdadero” o “falso” (1 ó 0). Se llama Algebra de
Boole y se utiliza en Electrónica Digital

Elementos: {0,1}
Operadores:
Suma Booleana: es la función lógica OR
X=A + B
Producto Booleano: es la función lógica AND
X = AB
Axiomas

Axioma: Propiedad Conmutativa
A+B = B+A
El orden en la OR no importa

AB = BA
El orden en la AND no importa

Axioma: Propiedadasociativa
A + (B + C) = (A + B) + C
Agrupar variables en la OR no importa

A (B C) = (A B) C
Agrupar variables en la AND no importa

Axioma: Propiedad distributiva I
A(B + C) = AB + AC

A
B
C
X
Y

X=Y

Axioma: Propiedad distributiva II
A+BC = (A+B)(A+C)

A
B
C
X
Y

Axioma: Elemento identidad (0 para +)
A+0=A
Hacer una operación OR con 0 no cambia nada.

A
X

X=A

Axioma: Elemento identidad (1 para·)
A·1=A
Hacer una operación AND con 1 no cambia nada

A
X=A
X

Axioma: Elemento complemento
A+A = 1
O bien A o A serán 1, luego la salida será 1

A
A
X

X=1

Axioma: Elemento complemento
A·A=0
Bien A o A son 0 luego la salida será 0.

A
A
X

X=0

Teorema: A+1=1 (T. Complementación)
Hacer una operación OR con 1 da siempre 1.

A
X=1
X

Teorema: A•0=0 (T. Complementación)
Hacer una operación ANDcon 0 siempre da 0

A
X

X=0

Teorema: A+A = A

(T. Idempotencia)

Hacer una operación OR consigo mismo da el
mismo resultado

A
A
X

A=A

Teorema: A•A = A

(T. Idempotencia)

Hacer una operación AND consigo mismo da
el mismo resultado

A
A
X

A=A

Teorema: A = A (T. Involución)
Si negamos algo dos veces volvemos al principio

A
X

X=A

Teorema: A + AB = A

A
B
X

(T. Absorción I)

Teorema A +AB = A + B (T. Absorción II)
Si A es 1 la salida es 1

Si A es 0 la salida es B

A
B
X
Y

X=Y

Leyes de De Morgan (2 variables)
De Morgan ayuda a simplificar circuitos digitales usando NORs
y NANDs.

A•B=A+B
A+B=A•B

Igual para n variables

Leyes de De Morgan (más de 2 variables)
A +B +C + D = A • B • C • D

Análisis Booleano de
Funciones Lógicas
El propósito de este apartado es obtenerexpresiones booleanas simplificadas a partir
de un circuito
Se examina puerta a puerta a partir de sus
entradas
Se simplifica usando las leyes y propiedades
booleanas.

Cálculo de la expresión algebraica de salida
(ejemplo 1)

(A + B) (CD) = (A + B) + (CD) = A + B + CD

X e Y son
iguales

Cálculo de la expresión algebraica de salida
(ejemplo 2)
X = (A+B) C + CD + B
= (A+B) C · CD + B
= (A+B) C · (CD+ B)
= A B C · (C +D +B)
= A B C C + A B C D +A B C B
=ABC D

Los
circuitos
son
iguales

Ejemplo 3

Puerta a puerta a partir de sus entradas

X= AB+(C+D)
X= AB + C+ D

Ejemplo 4

X = (AB)(CD)
X = ABCD

Ejemplo 5

X = ABCD +A
Simplificando:
X = A + BCD

Ejemplo 6

X = (AB+B)BC
Usando la propiedad
distributiva:
X = ABBC +BBC

En la siguiente
transparencia se ve
cómo las dos cosas son
lomismo

X = ABC + BBC
X = ABC + 0•C
X = ABC + 0
X = ABC

Ejemplo 7

X = (A +AB) +(B(C+D))
X = (A + B) + (B(C + D))
X = (A + B) + (BC + BD)
X = A + B + BC + BD
X = A + B + C + BD
X =A+ B + C + D

Expresiones booleanas desde
tablas de verdad
Suma de productos
Y= A·B·C+B·C·D+A·C·D o directamente
Y= ABC+BCD+ACD
Producto de sumas
Y=(A+B+C)·(D+C)·(E+F)

Sumas de Productos (SP)
Sea una función F(ABCD)que sólo es 1 para los casos:
0011, 1011, 1110, 1111

Cuando ABCD=0011, únicamente la
expresión producto ABCD es 1.
Cuando ABCD=1011, únicamente la
expresión producto ABCD es 1
…y así sucesivamente… resultando que

F= ABCD + ABCD + ABCD+ ABCD  F es suma de productos

Productos de Sumas (PS)
Sea una función F(ABCD) que
sólo es 0 para los casos:
0010, 0100, 0111, 
1010, 1101

La función F es 0 (o...