ALGUNAS GRAFICAS FUNDAMENTALES DE CÓNICAS

CIRCUNFERENCIA
Definición. Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo denominado centro.
Circunferencia de centro el punto (a, b) y de radio R.
(x−a)² + (y−b)² =R²
Desarrollando y ordenando se llega a la ecuación general de la circunferencia:
x² + y² + mx + ny + p = 0
Identificando ambas ecuaciones se obtiene:
R a b p
2
b n
2
a m
p a b R
n 2b
m 2a
2 22 2 2
= + −
= −
= −
= + −
= −
= −
Conclusiones:
a) Los coeficientes de x² e y² son iguales en valor y signo.
b) No hay término en xy.
c) Para que exista circunferencia: m² + n² − 4p > 0(Radio positivo)
Elementos de una circunferencia.
Centro: Coordenadas del punto del plano del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.
C(a, b)
Radio: Distancia del centro a cualquierpunto de la circunferencia.
Caracterización de algunos tipos de circunferencia.
i. Circunferencia centrada en el eje OX. Centro C(a, 0)
x2 + y2 + mx + p = 0
ii. Circunferencia centrada en el eje OY. C(0,b)
x2 + y2 + ny + p = 0
iii. Circunferencia centrada en el origen de ordenadas. C(0,0)
x2 + y2 + p = 0
Formas de determinar una circunferencia.
(1) Conocido el centro y el radio
Solución
Porla definición:
( ) ( ) ( )
  
: x − a 2 + y − b 2 = R2
Radio R
Centro C a, b
desarrollando y ordenando se llega a la ecuación general de la circunferencia.
x2 + y2 + mx + nx + p = 0
(2) Circunferencia concéntrica a otra conocida que pasa por un punto determinado y
conocido.
Datos: - Punto de la circunferencia buscada P(xo, yo)
- Ecuación de la circunferencia C
Incógnitas: - Centroy radio de R, C’(a’, b’)
Solución
Por ser concéntricas, el centro de C’, coincide con el ce C
2
b' n
2
a' = − m = −
El radio de obtiene como la distancia de centro C’ al punto P
( ) ( ) ( )2
o
2
R = d C'−P = x o − a' + y − b'
Conocidos el centro y el radio se aplica la definición
C' ≡ (x − a')2 + (y − b')2 = R2
(3) Conocidos tres puntos de la circunferencia
Solución
El problema sepuede resolver por dos métodos:
i. Método analítico
Se busca una ecuación de la forma x² + y² + mx + ny + p = 0 con tres parámetros m, n y p que se
verifique para tres puntos A(a1, a2), B(b1, b2), C(c1, c2). Se puede plantear un sistema de 3 ecuaciones lineales
con tres incógnitas, m, n, p.
( )
( )
( ) 




+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =
C c , c : c c m·c n·c p 0
B b , b : b bm·b n·b p 0
A a , a : a a m·a n·a p 0
1 2
22
2
1 2 1
1 2
22
2
1 2 1
1 2
22
2
1 2 1
Resolviendo el sistema se encuentra los valores de los parámetros, y con estos la ecuación de la
circunferencia.
El centro y el radio se calculan a partir de los parámetros de la ecuación de la circunferencia
m n 4p
2
R 1
2
b n
2
a m
= ⋅ 2 + 2 −
= −
= −
Para resolver el sistema serecomienda el método de reducción. Restando una de las ecuaciones a las otras
dos, se obtiene un sistema de 2×2.
ii. Método geométrico
Sí A, B y C pertenecen a una circunferencia, los tres puntos deben de equidistar del centro de la
circunferencia que los contiene. El centro de la circunferencia se halla por la intersección de las mediatrices
de dos de los tres segmentos que forman los tres puntos,por ejemplo AB y BC.
Mediatriz AB:
Si P(x, y) es un punto de la mediatriz, debe de cumplir:
d(P−A)=d(P−B)
( ) ( ) ( ) ( )2
2
2
1
2
2
2
x − a1 + y − a = x − b + y − b
( ) ( ) ( ) ( )2
2
2
1
2
2
2
x − a1 + y − a = x − b + y − b
desarrollando los cuadrados y ordenando se llega a la ecuación de la mediatriz AB, que toma la forma
A1·x + B1·y + C1 = 0
Repitiendo el mismorazonamiento entre B y C, se obtiene la mediatriz BC
A2·x + B2·y + C2 = 0
La solución de sistema planteado con las ecuaciones de las dos mediatices es el centro de la circunferencia
:C(a, b)
A ·x B ·y C 0
A ·x B ·y C 0
C
2 2 2
1 1 1
  
+ + =
+ + =
≡
El radio se calcula como la distancia del centro a cualquiera de los puntos.
R = d(C−A) = ( ) ( )2
2
2
a − a1 + b − a
Conocidos el centro...