Allala

Transformaciones Geométricas


Translación


x’ = x + dx
y’ = y + dy


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Si definimos los vectores

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Podemos decir en forma concisa que P’ = P + T . En coordenadashomogéneas podemos escribir como:

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Escalamiento


Para el escalamiento podemos hacer

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donde sx representa el factor de escalamiento en x y sy el factor de escalamiento en y.

[pic]Rotación


Para determinar la rotación consideremos un punto que se encuentra a una distancia del origen R y esta distancia forma un ángulo φ con la horizontal.

x = r cos φ
y = r sen φSi movemos este punto un ángulo θ tenemos que

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x’ = r cos (φ+θ) ’ [r cos φ] cos θ − [rsen φ]sen θ
y’ = r sen (φ+θ) ’ [r cos φ] sen θ − [rsen φ]cos θ

Lo cual da como resultado que lamatriz de rotación para un punto esta dada por

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Sesgo


Existe dos posibilidades de hacer transformaciones de sesgo, la primera en la dirección x y la segunda en la dirección y.Para aplicar una transformación de sesgo en la dirección x hacemos

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y en la dirección y hacemos

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Transformación ventana-área de vista


Consideremos que tenemos unaventana del mundo real cuyos límites son {x_min, x_max, y_min, y_max}

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Deseamos mapear a coordenadas de pantalla con límites {u_min, u_max, v_min, v_max}. Para tal propósito debemos :

1.-Trasladar las coordenadas mínimas al origen T(-x_min, -y_min),
2.- Aplicar un escalamiento anisotrópico dado por S((u_max-u_min)/(x_max-x_min), (v_max-v_min)/(y_max-y_min)) y
3.- Trasladar lascoordenadas a un nuevo origen u_min, v_min T(u_min, v_min)

Estos pasos dan la siguiente transformación

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Al multiplicar P = M[x,y,1]T se obtiene


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Representación detransformaciones tridimensionales


La translación, escalamiento, rotación y sesgo en tres dimensiones, es simplemente una extensión de la que se lleva a cabo en dos dimensiones. Desde este punto de vista...