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Universidad de Talca
Instituto de Matem´tica y F´
a
ısica
C´lculo I
a
Junio 2013

Gu´ Aplicaciones de la derivada
ıa:
1. A continuaci´n se entrega el gr´fico de la derivada de una funci´ncontinua y = f (x),
o
a
o
con dom(f ) = [−18, 34]:

Gr´fico de la derivada de f
a

Por inspecci´n del gr´fico entregado, determinar, en caso que exista(n):
o
a
a) Intervalos donde y = f (x) escreciente y decreciente.
b) Abscisas de los puntos cr´
ıticos de y = f (x).
c) Extremos relativos de y = f (x).
d ) Abscisa del punto en que la funci´n y = f (x) alcanza su m´
o
ınimo absolutoen el
intervalo [−3, −2]
2. Haciendo un estudio de las siguientes funciones determinando extremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, intervalos de concavidad y puntos de inflexi´n.o
2x
(a) f (x) = x3 − 3x2 + 3x + 7
(b) f (x) = 2
x −1
1
−3
x−2

(c)

f (x) =

(e)

f (x) = 10x3 (x − 1)2

(d)

f (x) = x3 +

(f)

f (x) =

3
x

x3
2x2 − 8

(g) f (x) =x2
x2 − 9

(h) f (x) = (x − 2)3 (x + 1)4

(i)

x2 + 3
x−1

(j)

f (x) =

f (x) =

x2
x2 + 9

3. Determinar los extremos absolutos de la funci´n y valores donde x lo alcanza:
oa) f (x) = 2(3 − x). en [−1, 2]
b) f (x) = −x2 + 3x en [0, 3]
2x − 5
c) f (x) =
en [0, 5]
3
d ) f (x) = x2 + 2x − 4 en [−1, 1]
4. Determinar los valores de a, b, c y d tales que la funci´ndefinida por y = ax3 +bx2 +cx+d
o
tenga extremos relativos en los puntos (1, 2)y(2, 3)
5. Problemas optimizaci´n
o
a) Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen de 50cm3 . Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material
que va a ser usado.
b) Un ranchero tiene 300 m de malla para cercar dos corrales rectangulares iguales y
contiguos,es decir, que comparten un lado de la cerca. Determinar las dimensiones
de los corrales para que el area cercada sea m´xima.
´
a
c) Se desea construir un recipiente cil´
ındrico de metal con...